Wie kann ich möglichst einfach die Volumensformel für die Pyramide erklären:
V = Grundfläche mal Höhe drittel;
Ich kanns mit Integrieren und auch mit einer Reihe lösen, aber ich soll es einem Hauptschüler erklären und darf daher keine solchen mathematischen Möglichkeiten verwenden.
Weiß da jemand was?
Wie kann ich möglichst einfach die Volumensformel für die
Pyramide erklären:
V = Grundfläche mal Höhe drittel;
Hi Joachim,
ich würde so vorgehen. Ausgangspunkt ist ein Rechteck. Wie groß der Flächeninhalt eines Rechtecks mit Grundseite s und Höhe h ist, weiß jeder:
A[Rechteck] = s h
Dann würde ich zeigen, daß diese Formel auch für ein Parallelogramm gilt (passendes Dreieck an einer Seite abschneiden und an der gegenüberliegenden anfügen ergibt wieder ein Rechteck). Weise aber deutlich auf den Unterschied zwischen s und h hin: h ist die Höhe des Parallelogramms (nicht die Seitenlänge!), wohingegen s die Länge der Grundseite ist.
A[Parallelogramm] = s h
Zeige dann, daß jedes Dreieck mit seinem Spiegelbild zu einem Parallelogramm doppelter Fläche ergänzt werden kann und deshalb für den Flächeninhalt eines Dreiecks gilt:
A[Dreieick] = 1/2 s h
Nun machst Du deutlich, daß A[Dreieck] proportional zu s und h ist, und erklärst, daß die Annahme vernünftig ist, daß V[Pyramide] proportional zu G (= Fläche der Grundseite) und h ist (vgl. dazu etwa auch das Volumen eines Zylinders).
Mal nun einen Würfel. Zeichne die vier Eckdiagonalen ein und zeige, daß sie den Würfel in sechs gleiche Pyramiden aufschneiden (die Spitzen aller Pyramiden treffen im Würfelmittelpunkt aufeinander). Wenn Du die Höhe der Pyramiden mit h bezeichnest, dann hat der Würfel die Kantenlänge 2 h und das Volumen 8 h^3.
Das Volumen einer der Pyramiden beträgt deshalb:
V[Pyramide] = 1/6 V[Würfel] = 1/6 8 h^3 = 4/3 h^3
Die Grundseiten der Pyramiden sind die Würfelflächen und deshalb 4 h^2 groß. Wegen der Proportionalität von V[Pyramide] zu h und G = 4 h^2 brauchst Du das „4/3 h^3“ jetzt nur noch als „1/3 (4 h^2) h“ aufzuschreibn und erhälst:
V[Pyramide] = 1/3 G h
Daß diese Formel auch für nicht-gleichseitige Pyramiden gilt, ist leicht einzusehen (ist halt genauso wie bei den Dreiecken).
Mit freundlichem Gruß
Martin
Die Grundfläche der Pyramide sei ein n-Eck. Dieses zerlegt man durch Einzeichnen von n-3 Diagonalen in n-2 Dreiecke.
Über diesen Dreiecken denkt man sich Tetraeder mit der Spitze der Pyramide als gemeinsamer Spitze.
Das Volumen der Pyramide ist gleich der Summe der Volumina der Teil-Tetraeder.
Das Volumen eines Tetraeders ist gleich 1/3 x Grundfläche x Höhe.
Bildet man die Summe, lassen sich der Faktor 1/3 sowie die allen Tetraedern gemeinsame Höhe h ausklammern. Die verbleibende Summe der Grundflächen der Tetraeder ist gleich der Grundfläche der Pyramide.
Bei diesem Beweis wird also die Volumenformel für das Tetraeder vorausgesetzt. Diese lässt sich herleiten, indem man ein gegebenes Tetraeder zu einem Prisma erweitert, dessen Volumen = Grundfläche x Höhe ist. Dann zeigt man, dass dieses Prisma ausser dem ursprünglichen Tetraeder zwei weitere Tetraeder enthält, die beide das gleiche Volumen wie das erste haben. Ein Tetraeder muss dann das Volumen V = 1/3 x Grundfläche x Höhe haben.
(Nach: G. Hajós: Einführung in die Geometrie, Teubner Verlagsgesellschaft 1970 - ein wirklich empfehlenswertes Buch, weil es schön klar vom Einfachen zum Höheren leitet.)
Torsten
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Die beiden anderen Antworten sind viel zu schwierig für einen Hauptschüler. Ich weiß was, nämlich eine einem dem Hauptschüler angemessene Form, die sich bewährt hat. Man baut einen Quader und eine Pyramide mit gleicher Grundfläche und gleicher Höhe als Hohlkörper und zeigt in einem Umschüttversuch (Sand, Reis, …), dass drei Pyramidenfüllungen eine Quaderfüllung ergeben. Fertig! Das reicht zur Erklärung.
Mit Kegel und Zylinder das gleiche Verfahren.
Viel Erfolg!
jd
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Erst mal Danke an alle. Das mit dem Umschütten kannte ich schon, am besten gefällt mir die Methode mit dem Würfel, den man in 6 Pyramiden zerlegt.
Die 2 Methode (mit den Tetraedern) ist allgemeiner - ich habe nur eine Frage: sind hier tatsächlich Tetraeder gemeint oder Pyramiden mit dreieckiger Grundfläche? Ich könnte mir das nämlich nur so vorstellen (ich meine, wenn Pyramiden mit dreieckiger Grundfläche gemeint sind).
Hi Joachim,
sind hier tatsächlich Tetraeder gemeint oder
Pyramiden mit dreieckiger Grundfläche?
sowohl als auch 
, denn Tetraeder sind"Pyramiden mit dreieckiger Grundfläche" (griechisch: „Tetra“ = „Vier“, Tetraeder = „Vierflächner“), allerdings im engeren Sinne nur solche mit vier gleichseitigen Dreiecken als Flächen. Schau mal in einer Formelsammlung oder einem Geometiebuch nach unter „Regelmäßige Körper“ – dort findest Du sie.
Gruß
Martin
Die anschauliche Vorführung der Volumenformel mit dem Umschüttversuch ist sicherlich nicht zu verachten - zur Untermauerung für das praktische Verständnis und das Merken.
Allerdings handelt es sich nicht um eine sattelfeste Erklärung oder Herleitung des Zusammenhanges.
Wenn nicht ausdrücklich darauf hingewiesen wird, dass man aus so einem Versuch niemals ohne weiteres auf die zugrundeliegende allgemeine physikalische oder mathematische Gesetzmässigkeit schliessen darf, wäre das Vermittlung von Kurzschlussdenken und somit pädagogisch nicht gerade wertvoll.
Torsten
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