Volumen einer Schicht eines Hyperwürfels

Wissenschaft Physik
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Hallo,

ich probiere gerade, das Volumen einer Schicht mit Dicke x unter der Oberfläche eines D-Dimensionalen Hyperwürfels mit Kantenlänge a zu berechnen.

Meine erste Idee war, ein 2^-D-tel dieses Volumens zu berechnen, indem ich in kartesischen Koordinaten über 1 mit den Grenzen von (a/2 - x) bis a/2 integriere. Da komme ich auf aber bei jedem Term nur auf x, d.h. insgesamt komme ich auf (2*x)^D, was natürlich falsch ist (wie man schon für D = 2 bemerkt). Was mache ich hier falsch?

Meine nächste Idee ist, die Grenzelemente abzuzählen.
Für D = 1: V = 2 x
Für D = 2: V = 4 a x - 4 x^2 (4 Kanten - 4 Ecken, die doppelt gezählt wurden)
Für D = 3: V = 6 a^2 x - 12 a x^2 + 8 x^3 (6 begrenzende Flächen - 12 Kanten, die doppelt gezählt wurden + 8 Ecken, die doppelt abgezogen wurden)

Die Anzahl der d-Dimensionalen Grenzelemente ist hier ganz gut beschrieben: http://de.wikipedia.org/wiki/Hyperw%C3%BCrfel

Meine Formel für ein D-Dimensionalen Hyperwürfel wäre also
V = Summe(d=1 bis D) a^(D-d) * x^d * (D über d) * 2^(D-d).

Stimmt das? gibt es dafür einen geschlossenen Ausdruck?

Kennt jemand noch einen anderen Weg, dieses Volumen zu berechnen? vielleicht per Induktion über d?

Vielen Dank im Voraus,
Moritz

P.S. ich bin das Wochenende über nicht „online“, werde also erst am Sonntag Abend oder Montag auf ev. Antworten reagieren können.

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ich probiere gerade, das Volumen einer Schicht mit Dicke x
unter der Oberfläche eines D-Dimensionalen Hyperwürfels mit
Kantenlänge a zu berechnen.

Hallo.

Das Volumen des gesamten Würfels ist doch aD. Wenn Du jetzt diese Schicht (gewissermaßen die Schale) wegnimmst, bleibt ein etwas kleinerer Würfel übrig. Der ist immer noch D-dimensional, und hat in jedem Fall die Kantenlänge a-2x, unabhängig von D. Und das Volumen des Restwürfels ist dann (a-2x)D. Somit ist das gesuchte Volumen der Schale:
aD - (a-2x)D

Aber wozu ist das eigentlich gut?

Olaf

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Hallo,

aD - (a-2x)D

inzwischen bin ich selbst auf diese Idee gekommen (im wahrsten Sinne des Wortes im Schlaf *g*), so schwer ist es ja eigentlich nicht…

Trotzdem vielen Dank.

Aber wozu ist das eigentlich gut?

Es ist eine Übungsaufgabe aus der statistischen Physik. Es geht darum zu Zeigen, dass sich für sehr große Dimensionen das Phasenraumvolumen in einer dünnen Schicht unter oder Ober"fläche" konzentriert (bei N Teilchen ist der Phasenraum 6N-Dimensional, N liegt in der Größenordnung von 10^20).

Grüße,
Moritz