Hallo alle zusammen,
hat jemand eine Idee, wie ich das Volumen eines Körpers berechnen kann, der folgendermaßen aussieht:
Vorderfläche: Dreieck
Bodenfläche: Dreieck
2 Seitenflächen: Vierecke
Sprich ein Kuchenstück, dass aber als Rückseite kein Rechteck sondern ein Dreieck hat.
Man könnte es sich auch so vorstellen: Man nimmt ein Dreieck und während man es nach hinten verschiebt verkleinert sich die Grundseite, wobei die Höhe Konstant bleibt.
Kann mir da jemand helfen? Vielen Dank.
Hallo,
Vorderfläche: Dreieck
Bodenfläche: Dreieck
2 Seitenflächen: ViereckeSprich ein Kuchenstück, dass aber als Rückseite kein Rechteck
sondern ein Dreieck hat.
dann sind die Seitenflächen gekrümmt. Zur Berechnung des Volumens dieses Körpers würde ich auf die allgemeine Methode zurückgreifen, nämlich die Aufstellung und Auswertung des Volumenintegrals.
Gruß
Martin
Hallo,
als Ergänzung zu Martins Antwort:
Das Volumenintegral ist gar nicht so kompliziert aufzustellen.
Nehmen wir an, das Kuchenstück hat die Länge l. Sei die Spitze in x=0, die Rückseite bei x=l. Die Höhe sei h, die maximale Dicke – also die Grundseite der Rückseite – sei d.
Jetzt stellen wir uns vor, wir machen bei irgendeinem x einen Querschnitt. Wie lang ist dann die Grundseite g(x) der Querschnittsfläche?
Da sie linear von g(0)=0 bis g(l)=d zunimmt, ist offenbar
g(x)=\frac{d}{l}\cdot x.
Jetzt brauchen wir die Querschnittsfläche A(x), aber die ist nicht weiter schwer, es ist ja eine Dreiecksfläche.
A(x)=\frac12 g(x)\cdot h=\frac{d\cdot h}{2l}\cdot x
Und diese Fläche müssen wir jetzt nur noch entlang x integrieren, also
V=\int_0^l \frac{dh}{2l}x,dx = \frac{dh}{4l}\left.x^2\right|_0^l =\frac14 dhl.
Liebe Grüße
Immo
P.S. Ich hoffe, das war keine Hausaufgabe! Schick mal ein Foto von diesem Kuchenstück, das muss sehr interessant aussehen.
Hallo Immo,
eigentlich braucht man das explizite Integral garnicht. Der Inhalt der überall dreieckförmigen Querschnittfläche nimmt vom „spitzen“ zum „dicken“ Ende hin linear von 0 auf 1/2 d h zu (das tut sie, weil h konstant ist und die Grundseitenlänge linear von 0 auf d zunimmt). Folglich hat der Körper das Volumen
V = l · (der arithmetische Mittelwert von 0 und 1/2 d h) = l · 1/4 d h = 1/4 d h l
Das Argument mit dem arithmetischen Mittelwert kann man immer verwenden, wenn man über eine Größe integriert, die sich linear ändert, denn das Integral bildet ja ebendiesen Mittelwert.
Gruß und ein schönes WE
Martin