Volumen für quaderartigen Körper berechnen

Wissenschaft Mathematik
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Liebe Wissenden,

kann jemand das Volumen eines quaderartigen Körpers berechnen? Und auch die Formel zur Verfügung stellen?

Er sieht aus wie eine Pyramide. Mit der Einschränkung, dass oben keine Spitze ist sondern ein Quadrat, das jedoch kürzer ist, als das Quadrat der „Bodenplatte“.

Die „Bodenplatte“ ist ein Quadrat mit Seitenlängen von jeweils 65mm.

Die „Deckelplatte“ hat Seitenlängen von jeweils 35 mm.

Die Zeichnung habe ich unter (http://www.linkfile.de/download-e1f979ea2b94f4a754835ee9f85cf0d0.php]Download) 4998-12.jpg veröffentlicht.

Vielen Dank im Voraus!

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Hallo,

Deiner Beschreibung zufolge handelt es sich um einen Pyramidenstumpf. Wenn ich mir allerdings das Bild anschau bekomme ich den Eindruck als sei die Deckelfläche nicht quadratisch sondern weist an den Ecken eine leichte Neigung auf.

Sollte ich mich täuschen, und es handelt sich doch um eine quadratische Deckelfläche dann ist die Berechnung doch relativ einfach.

Die Formel für das Volumen lautet V=(1/3)h(a²+ab+b²)

V = (1/3) * 346,1 mm * ((65 mm)² + 65 mm * 35,4 mm + (35,4 mm)²)

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Hallo Sascha,

wenn ich das alles richtig verstanden habe, ist dein Körper ein Pyramidenstumpf mit quadratischer Grund- und Deckfläche, und für den gilt folgendes:

http://de.wikipedia.org/wiki/Pyramidenstumpf

Hilft dir das weiter?
LG
Karola

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Hi Sascha,
hier habe ich was schönes gefunden:
http://www.mathematische-basteleien.de/pyramidenstum…
So zirka in der Mitte steht „Gerader quadratischer Pyramidenstumpf“.
a=65,0mm
b=35,4mm
h=wurzelaus((346,1mm)²-((65,0mm-35,4mm):2)²)
Formel:
V=(1/3)*h*(a²+ab+b²)
eingestzt:
V=1/3(wurzelaus((346,1mm)²-((65,0mm-35,4mm):2)²))*((65,0mm)²+65,0mm*35,4mm+(35,4mm)²)
V=897267,6845mm³
Und hier nochmal die Herleitung:
http://www.uni-protokolle.de/foren/viewt/1413,0.html
MFG Jonas

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Liebe Wissenden,

kann jemand das Volumen eines quaderartigen Körpers berechnen?
Und auch die Formel zur Verfügung stellen?

Er sieht aus wie eine Pyramide. Mit der Einschränkung, dass
oben keine Spitze ist sondern ein Quadrat, das jedoch kürzer
ist, als das Quadrat der „Bodenplatte“.

Genau das ist der richtige Ansatz.
Dieser Körper nennt sich „Pyramidenstumpf“, und wie der Name schon sagt, es ist eine Pyramide, der die Spitze abgeschnitten wurde.
Dies ist auch der Ansatz, wie man das Volumen berechnen kann: Es ist eine große Pyramide, von der eine Kleinere (die Spitze) abgeschnitten wurde. Das ist bei deinem Beispiel wahrscheinlich etwas schwer zu sehen, weil die Pyramiden, die man normalerweise kennt, meist nicht so hoch im Verhältnis zu ihren Grundseiten sind.
Die Formel für diesen Pyramidenstumpf mit quadratischen Flächen lautet V = 1/3 * h * (a²+ab+b²), wobei h die Höhe des Stumpfes, a die Seitenlänge der unteren Fläche und b die der oberen Fläche ist (in diesem Fall ist es letztlich egal, ob a oder b oben oder unten liegt).
Falls dich die Herleitung dieser Formel interessiert, es geht grundsätzlich darum, das Volumen des Pyramidenstumpfes zu beschreiben, indem man von der ursprünglichen Pyramide die Spitze abzieht.
Man hat als bekannte Größen die Seitenlängen der Quadrate, nämlich a und b, sowie die Höhe des Stumpfes, nämlich h. Notwendig für die Berechnung sind aber noch die Höhe der abgeschnittenen Pyramide i sowie die ursprüngliche Höhe der gesamten Pyramide k.
Man kann beide Größen mit Hilfe des Strahlensatzes durch a, b und h ausdrücken.
Falls du dazu noch genauere Erklärungen wünscht, melde dich noch einmal.

In deinem Fall wäre das Volumen also V = 1/3 * 34,61 cm * [(6,5 cm)² + 6,5cm * 3,54 cm + (3,54 cm)²] = 1/3 * 34,61 cm * 77,7916 cm² ≈ 897,46 cm²

Ich hoffe, dass ich geholfen habe.

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Hallo Sascha,

bei deinem Problem handelt es sich um einen Pyramidenstumpf.

Eine Höhenangabe bzw Neigungswinkel muss in deiner Aufgabe noch enthalten sein. Dann kannst du die Höhe des „fehlenden“ Pyramidenteils mithilfe von Strahlensätzen oder Trigonometrie bestimmen.

Danach die Differenz zwischen der großen und der kleinen Pyramide bilden.

Das Bildfile wollte ich nicht downloaden, weil ich die Quelle nicht kenne.

Viel Erfolg,

Aphordite

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In deinem Fall wäre das Volumen also V = 1/3 * 34,61 cm *
[(6,5 cm)² + 6,5cm * 3,54 cm + (3,54 cm)²] = 1/3 * 34,61 cm *
77,7916 cm² ≈ 897,46 cm²

Ich hoffe, dass ich geholfen habe.

Liebe Wissenden,

vielen Dank für die super Antworten.

Destram, lautet das Volumen 897,46 cm² oder 897,46 cm hoch 3? Meine Frage ist, wieviele cm3 brauche ich, um diese Pyramide füllen zu können?

Ich habe ein Möbelstück entworfen und habe leider von Mathematik und Geometrie überhaupt keine Ahnung, muss aber in etwa wissen, wie hoch das Volumen des Pyramidenstumpfes ist, um das Gewicht ermitteln zu können.

Die Höhe inkl. Pyramidenspitze wäre ca. 75 cm, schätze ich (da auf einer Höhe von ca. 35 cm der seitliche Abstand von 6,5 auf 3,5 geschrumpft ist, brauche ich etwas mehr als die doppelte Höhe, bis sich die Seiten der Pyramide kreuzen, also die Spitze erreicht ist. Richtig?

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≈ 897,46 cm²

Destram, lautet das Volumen 897,46 cm² oder 897,46 cm hoch
3? Meine Frage ist, wieviele cm3 brauche ich, um diese
Pyramide füllen zu können?

Ups. Ich meinte natürlich cm³, vertippt.
Das Volumen beträgt 897,46 cm³.

Ich habe ein Möbelstück entworfen und habe leider von
Mathematik und Geometrie überhaupt keine Ahnung, muss aber in
etwa wissen, wie hoch das Volumen des Pyramidenstumpfes ist,
um das Gewicht ermitteln zu können.

Die Höhe inkl. Pyramidenspitze wäre ca. 75 cm, schätze ich (da
auf einer Höhe von ca. 35 cm der seitliche Abstand von 6,5 auf
3,5 geschrumpft ist, brauche ich etwas mehr als die doppelte
Höhe, bis sich die Seiten der Pyramide kreuzen, also die
Spitze erreicht ist. Richtig?

Wie ich schon gesagt habe, kann man das mit dem Strahlensatz ausrechnen.
Wenn i die Höhe der abgeschnittenen Pyramide, k die der Ursprünglichen und h die des Stumpfes ist kann man k wie folgt berechnen:

Zunächst findet man i

(b/2)/i = (a/2)/k | *2 und k = i+h
b/i = a/(i+h)
bi + bh = ai
bh = i(a-b)

i = bh/(a-b)

Wenn man dort die entsprechenden Größen einsetzt ergibt dies:

i = 3,54 cm * 34,61 cm / (6,5 cm - 3,54 cm)
≈ 122,52 cm² / 2,96 cm ≈ 41,4 cm

Zusammengerechnet ist k = h+i ≈ 34,6 cm + 41,4 cm = 76 cm.

Deine Schätzung ist aber eine gute Interpolation und liegt auch nahe am tatsächlichen Ergebnis :wink:

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Danke sehr. Danke auch an alle anderen. Ihr Mathematiker verdient meinen größten Respekt, ohne euch wäre die Welt nicht wie sie ist!

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Schau mal hier

http://de.wikipedia.org/wiki/Volumen

oder frag deinen Lehrer.

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Sorry, wegen meiner späten Antwort! War auf Urlaub!

Er sieht aus wie eine Pyramide. Mit der Einschränkung, dass
oben keine Spitze ist sondern ein Quadrat, das jedoch kürzer
ist, als das Quadrat der „Bodenplatte“.

Demnach handelt es sich um einen Pyramidenstumpf, also um eine Pyramide, bei der eine kleine Pyramide (also der Spitz) abgeschnitten wurde, oder?

Die „Bodenplatte“ ist ein Quadrat mit Seitenlängen von jeweils
65mm.
Die „Deckelplatte“ hat Seitenlängen von jeweils 35 mm.

Demnach musst du dir überlegen/ausrechnen, wie hoch die ursprüngliche Pyramide war, das Volumen ausrechnen und vom Ergebnis das Volumen des abgeschnittenen Teils abziehen.

LG,
Mone.