Volumenberechnung

Wissenschaft Mathematik
1

Hallö_chen

Ich habe ein Problem bei folgender Aufgabe:

Gegeben ist ein Tetraeder mit der Grundfläche BCD. Beweise, dass das Volumen des Tetraeders 17 VE beträgt.

A (2/1/0) B ( 0/6/-1) C (-2/4/1) D (1/3/7)

Die Volumenformel eines Tetraeders lautet: 1/3 * G * h

Zuerst habe ich die Grundfläche G BCD wie folgt berechnet:

G= 1/2 * g * h => 1/2 * Strecke BC * h
Die Strecke BC hat eine Länge von Wurzel 12

Und bei der Höhe h, also die Strecke von der Geraden BC zum Punkt D, komme ich durch das Lotfußpunktverfahren auf die Wurzel aus 40 2/3

es ergibt sich G= ca. 11,045 FE

Bis dahin ist glaube ich noch alles richtig.

Jetzt muss ich noch die Höhe von der Grundfläche G zum Punkt A berechnen. Das habe ich wieder mit dem gleichen Verfahren gemacht wie zuvor und komme dann auf eine Länge von h= 5,77 LE

sodass sich ein Volumen von 21,25 VE ergibt, was leider falsch ist.

Ich hoffe jemand findet meinen Fehler

Viele Grüße

2

V=1/6|(a x b).c|
V=((B-A)x(C-A)).(D-A)/6
V=17

Spatprodukt…
Grüße

3

Hallö_chen

Hallo !

Ich habe ein Problem bei folgender Aufgabe:

Gegeben ist ein Tetraeder mit der Grundfläche BCD. Beweise,
dass das Volumen des Tetraeders 17 VE beträgt.

A (2/1/0) B ( 0/6/-1) C (-2/4/1) D (1/3/7)

Die Volumenformel eines Tetraeders lautet: 1/3 * G * h

Zuerst habe ich die Grundfläche G BCD wie folgt berechnet:

G= 1/2 * g * h => 1/2 * Strecke BC * h
Die Strecke BC hat eine Länge von Wurzel 12

Das stimmt noch.

Und bei der Höhe h, also die Strecke von der Geraden BC zum
Punkt D, komme ich durch das Lotfußpunktverfahren auf die
Wurzel aus 40 2/3

Das stimmt nicht mehr. Wie bist du darauf gekommen ? Wie lautet deine Hilfsebene ?

Jetzt muss ich noch die Höhe von der Grundfläche G zum Punkt A
berechnen. Das habe ich wieder mit dem gleichen Verfahren
gemacht wie zuvor.

Diesmal musst du allerdings den Abstand eines Punktes von einer Ebene und nicht wie zuvor von einer Geraden berechnen.

Fazit: Der Rechenweg scheint richtig zu sein, vielleicht hast du dich beim Aufstellen der Hilfsebene vertan bzw. beim Aufstellen der Lotgerade.

Gruß

hendrik

4

Hallö_chen

Und bei der Höhe h, also die Strecke von der Geraden BC zum
Punkt D, komme ich durch das Lotfußpunktverfahren auf die
Wurzel aus 40 2/3

Das stimmt nicht mehr. Wie bist du darauf gekommen ? Wie
lautet deine Hilfsebene ?

Das Ergebnis war das letzte, was wir kontrolliert haben und das stimmte.
Meine Hilfsebene lautet

E: -2x - 2y +2z = 6

Setze ich diese Hilfsebene mit der Geraden durch BC gleich, erhalte ich r (der Parameter aus der Geradengleichung BC), r= 1 2/3

Dieses Ergebnis in die Geradengleichung eingesetzt, erhält man den Punkt F ( -3 1/3 / 2 2/3 / 2 1/3)

Dann habe ich den Abstand vom Punkt F zum Punkt D berechnet und komme auf das besagte Ergebnis: Wurzel aus 40 2/3.

Wie folgt habe ich dann die Grundfläche bestimmt:

0,5 * Wurzel aus 12 * Wurzel aus 40 2/3 = 11,045 FE

Jetzt muss ich noch die Höhe von der Grundfläche G zum Punkt A
berechnen. Das habe ich wieder mit dem gleichen Verfahren
gemacht wie zuvor.

Ich habe die Gerade g durch D und F áufgestellt
und dann die Ebene durch A und senkrecht zur Geraden g durch DF

Die Gerade lautet

E: -4 1/3 x - 1/3 y - 4 2/3 z = -9

Es ergibt sich s (Parameter der Geraden DF) = 87/122

und man erhält den Punkt E ( -2 11/122 / 2 93/122 / 3 41/61 )

Das klingt ja auch schon falsch

Der Abstand zwischen A und dem Punkt E beträgt dann 5,77 LE

sodass sich ein Volumen von 21,25 VE ergibt.

Fazit: Der Rechenweg scheint richtig zu sein, vielleicht hast
du dich beim Aufstellen der Hilfsebene vertan bzw. beim
Aufstellen der Lotgerade.

Jetzt ist nur die Frage wo ich mich verrechnet habe. Ich hoffe jemand kann mir helfen

Viele Grüße