Hallo,
wird mit der Differentialgeometrie eigentlich auch das Volumen eines Körpers ausgerechnet?
Nehmen wir ein Koordinatensystem mit y-Achse als Höhe und z- und x-Achse als Ebenenkoordinaten.
Nun hat man eine Funktion, die in Abhängigkeit von z und x die Höhe y zurückgibt.
Nun könnte man doch das Volumen der Quader mit der Grundfläche dz*dy und der Höhe y(x;z) aufsummieren.
Das führt dann zu einen Integral der Form: Integral(f(x))dx * Integral(g(z))dz, oder?
Ich hab bis jetzt immer nur gelesen, dass sich die Differentialgeometrie hauptsächlich mit gekrümmten Flächen befasst, aber könnte man oder wird sogar nach der oben genannten Methode das Volumen von -ich will sie mal komplexe Körper nennen- berechnet?
Nehmen wir ein Koordinatensystem mit y-Achse als Höhe und z-
und x-Achse als Ebenenkoordinaten.
Nun hat man eine Funktion, die in Abhängigkeit von z und x die
Höhe y zurückgibt.
Nun könnte man doch das Volumen der Quader mit der Grundfläche
dz*dy und der Höhe y(x;z) aufsummieren.
Das führt dann zu einen Integral der Form: Integral(f(x))dx *
Integral(g(z))dz, oder?
Hi Tim !
Nein, ein solches Volumen würde man mit &int &int y(x,z)dxdz berechnen.
Das kannst du selbst mal ausprobieren, ein Quader entsteht ja durch die recht einfache Funktion y(x,z)=c, wobei c eine Kantenlänge des Quaders ist. Als untere Integrationsgrenzen nimmst du jeweils 0 und als obere die beiden anderen Kantenlängen.
Gruß
Hallo,
das für y(x,z)=c funktioniert gut.
Nehmen wir an y(x,z)=f(x)*g(z), dann könnte man so aufspalten:
Integral(Integral(y(x,z)))dx*dz = Integral(f(x))dx*Integral(g(z))dz.
Ich hab bis jetzt immer nur gelesen, dass sich die
Differentialgeometrie hauptsächlich mit gekrümmten Flächen
befasst.
Da hast Du was Falsches gehört. Differentialgeometrie beschäftigt sich mit beliebigen „Mannigfaltigkeiten“, das können Kurven (1-dimensional), Flächen (2-dimensional) oder auch höherdimensionale Räume sein. Interessant sind vor allem vierdimensionale Räume mit Index 1 (d.h. eine Richtung ist ausgezeichnet), die als Modelle für die allgemeine Relativitätstheorie dienen können (die ausgezeichnete Richtung ist die Zeit); fünfdimensionale Räume mit Index 2 sind für die Konforme Feldtheorie (eine Art Stringtheorie) wichtig; und interessante mathematische Aussagen (über Krümmungen, Eigenfunktionen etc.) erhält man oft erst ab Dimension 6. Interessant sind auch exotische 7-Sphären (die 7-Sphäre ist die Oberfläche einer 8-dimensionalen Kugel).