Vielen, vielen lieben Dank!
Erst mal die Außenform. x²=20(y+5) lößt Du nach y auf, dann
steht da:
y = 1/20 * x² - 5
Da wir in der Schule mit
pi * INTEGRAL von a bis b (x²)dy
rechnen, hab ich mir das Auflösen gespart, und nacher direkt x² eingesetzt.
Das ist die Parabel. Du erkennst sicher, dass der Scheitel auf
der y-Achse
liegt, also bei x = 0 und y = -5. Die Nullstellen kannst Du
selber ausrechnen.
Den Scheitel der Parabel konnte ich ausrechnen, die Nulstellen hab ich mir gespart, so genau braucht meine Skizze gar nicht sein.
Die helfen beim Skizzieren des Grafen. Nun drängt es sich
geradezu auf, dass die
y-Achse die Drehachse sein soll - dazu später mehr.
Die untere Kante des Gefäßes liegt also bei y = -5, die obere
bei y = +3. Dabei
habe ich angenommen, dass die x und y in cm gemessen werden.
Ja, soweit bin ich auch gekommen.
Jetzt zur Innenfläche. Auch erst mal nach y auflösen ergibt:
y = +1/2 * sqrt(64 - x²)
Das ist aber nicht alles, denn auch folgendes gilt für die
untere Hälfte der
Ellipse:
y = -1/2 * sqrt(64 - x²)
Die erste Lösung führt zu einem Scheitel bei x=0, y=+4. Dieser
Teil der Ellipse
ist aber nach unten geöffnet und erzeugt beim Rotieren
allenfalls ein Osterei,
aber da kannst Du dann nicht so leicht Zucker reinfüllen. Du
kannst also getrost
die erste Lösung vergessen und Dich auf die zweite
konzentrieren.
Der Scheitel liegt bei x=0, y=-4. Das macht eher Sinn, der
Boden des Gefäßes ist
also 1cm dick.
Auch hier hab ich mir die nach-y-Auflöserei gespart, einfach nach x² umgeformt und x=0 gesetzt. Ich bin auch auf y= -4 gekommen.
Jetzt kommt die ganze Rotiererei. Da gibt es eine Formel für
das rotierte
Volumen.
V= pi * INTEGRAL von a bis b [f(x)]² dx
Da Dir die Formel sicher bekannt ist, kommst Du mit dieser
Schreibweise auch
zurecht. Die Formel setzt allerdings eine Drehung um die
x-Achse voraus. Es ist
also praktischer, wenn wir die Parabel und die Ellipse nicht
auf die
Töpferscheibe (Plattenteller) stellen, sondern in die Drehbank
einspannen. (x
und y vertauschen)
Wie gesagt, wir verwenden in der Schule eine Formel, mit der ich die ganze Geschichte getrost auf der Töpferscheibe stehen lassen kann.
Für die Parabel haben wir jetzt also
x = 1/20 * y² - 5
bei mir steht da nach wie vor x² = 20(y+5) = 20y + 100
und für die Ellipse
x = -1/2 * sqrt(64 - y²)
x² = 64 - 4y²
Das wieder nach y auflösen (Hm, vielleicht hatte ich Dir da
ein
Stück
Rechenweg ersparen können.)
y = sqrt(20x + 100) Scheitel bei x = -5 rechtes Ende bei x =
+3
(8cm Höhe)
und
y = ±2sqrt(16 - x²) Scheitel bei x = -4 rechtes Ende bei x =
+3 (8cm Höhe)
Das Minus kannst Du wieder ignorieren, jetzt aber aus anderem
Grund: y
stellt immer den Radius des Rotationskörpers an der Stelle x
dar und ist somit
positiv.
Also
y = f1(x) = sqrt(20x + 100)
y = f2(x) = 2 * sqrt (16 - x²)
Das sind jetzt die Funktionen wie Du sie in obige Formel
einsetzen kannst
Damit kannst Du zuerst das Volumen des Glasrohlings
ausrechnen:
V1 = pi * INTEGRAL von -5 bis +3 [f1(x)]² dx
Dann bohrst Du ein Loch rein
V2 = pi * INTEGRAL von -4 bis +3 [f2(x)]² dx
Dann hast Du das Glasvolumen:
V_Glas = V1 - V2
= [pi * Integral von -5 bis 3 (20y+100)dy] - [pi * INTEGRAL von -4 bis 3 (64-4y²)dy]
Jetzt füllst Du Zucker rein bis zur Höhe von 5cm. Du hast ja
offensichtlich
schon erkannt, dass nicht ganz klar ist, ab wo die 5cm
gemessen
werden. Also
gibts zwei Varianten
V_Zucker_a = pi * INTEGRAL von -4 bis 0 [f2(x)]² dx
V_Zucker_b = pi * INTEGRAL von -4 bis 1 [f2(x)]² dx
Unsere Mathematiklehrerin hält es immer so, dass die Höhe des eingefüllten Stoffes mit dem Innenboden als untere Grenze gerechnet wird, deshalb bin ich gar nicht auf die Idee gekommen, Variante a auszuprobieren.
Dadurch dass die Funktionen im Integral noch quadriert werden,
ist es einfach
die Integrale auszurechnen.
Mit Lösung b komme ich auf 3.7322…kg.
Nachdem ich festgestellt habe, dass wir bis hier einer Meinung sind, hab ich das Ganze zum x-ten Mal integriert, (mit dem gleichen Ergebnis wie bisher) aber offensichtlich war ich zu blöd, den Taschenrechner richtig zu bedienen… jetzt kommt mir jedenfalls (ENDLICH!) 3,7322…kg heraus.
Du kannst ja mal erzählen, ab wo Deine Berechnung mit der von
mir nicht mehr
übereinstimmt.
Also nur Tippfehler.
Aber weil unsere Lehrerin öfter mal falsche Lösungen oder fehlerhafte Angaben ausgibt, war ich etwas verunsichert…
Nochmal vielen, herzlichen Dank!
Viele Grüße
Stefan
Auch dir viele Grüße,
merhameh