Von einer unendlichen Summe zum Integral

Wissenschaft Mathematik
#1

Hi,

ich hab mal ne kleine Frage und zwar: Ich verstehe den „Sprung“ nicht, wie man von einer unendlichen Summe von Elementen (von mir aus Rechtecke unter einem Graphen zur Flächenberechnung) zum Integral kommt.

War das Zufall, dass sich jemand gedacht hat: „Wenn ich eine Funktion aufleite und nun die Grenzen einsetze und voneinander subtrahiere, bekomme ich die Fläche“ oder gibt es einen Zusammenhang, wie man von einer unendlichen Summe zum Integral kommt. Leider finde ich darüber nichts in Büchern oder im Internet. Ich finde nur immer etwas a la: Man hat eine unendliche Summe, dafür schreiben wir: Integral von…

Das reicht mir allerdings nicht aus, ich würd das gern verstehen, kann mir da vielleicht jemand behilflich sein oder einen Link schicken?

Danke für eure Hilfe

#2

Hallo,

es gibt zwei Varianten dieser Betrachtung.
Zum einen die Folge_Betrachtung(die bei Grenzwerten immer besteht) und die Variante in dem du deine Breite Delta x gegen 0 laufen lässt.

ich bevorzuge die Delta x Variante:wink:

es gilt:

->je kleiner Delta x desto größer wird die Anzahl n der Rechtecke von Ober-Untersumme.
–> die Summe der Flächeninhalt aus allen Rechtecken Schrumpft und die Summen der Flächeninhalt aus allen Rechtecken der Untersumme Steigen an.

Aus dieser Näherung durch Delta x=o folgt:

Untersumme=eigentlicher Flächeninhalt=Obersumme.

Für ein Rechteck der Breite b=\frac{\Delta x}{n} und der Höhe f(x_{0})gilt.

A_{ges}vonF(x)=\sum_{Untersumme}b*f(x1)+b*f(x2)+…b*f(x_{n})+\sum_{Obersumme}b*f(x1)+b*f(x2)+…b*f(x_{n})

Zu bechten ist ist,dass die Obersumme an dem Größten Funktionswert ausgerichtet wird und die Unersumme an dem kleinstem

Funktionswerten ausgerichtet wird.

Das Integralzeichen \int ist mit dem Summenzeichen \sum gleichzusetzen.

hinzukommen die Intervallgrenzen a und b\Rightarrow\intop_{a}^{^{b}}f(x)dx

das f(x)entspricht deiner zu integrierenden Funktion und das dx Bezieht sich auf die Limes Betrachtung von \Delta x\rightarrow0
/code>

Wäre deine Frage damit geklärt??

Grüchen vom druwwl

#3

moin;

eigentlich ist es kein Sprung, sondern einfach nur ein und das selbe.

Normalerweise möchtest du mit dem Integral ja die Fläche unter dem Graphen der Funktion bekommen; bei konstanten oder linearen Funktionen ist das ja sehr simpel - aber was ist, wenn die Funktion nicht so „einfach“ aufgebaut ist?
Dann teilst du die Fläche unter dem Graphen einfach in Teilstücke auf, und approximierst die Fläche unter dem Graphen einfach durch das Rechteck, das durch die Breite des Teilstückes und einen der „Eckpunkte“ auf der Funktion definiert ist, also bei n Teilstücken und der Fläche bis x=1 zum Beispiel so:

\sum_{k=1}^n\frac{1}{n}(=Breite\ des\ Teilstueckes)\cdot f\left(\frac{k}{n}\right)(=Hoehe\ des\ Teilstueckes)

Dass dieser Wert sich immer weiter an den „echten“ Flächeninhalt der Fläche unter dem Graphen der Funktion annähert, je größer n ist, sollte offensichtlich sein - und eben über diesen Grenzwert ist das Integral definiert, durch das wir zu den bekannten Stammfunktionen kommen; dass wir eine Fläche, die nicht bei 0 beginnt, einfach durch die Subtraktion der Flächen zwischen 0 und dem Anfangswert und zwischen 0 und dem Endwert bekommen, ist m.M.n. trivial.

mfG

#4

Danke für eure Antworten, aber mir ist irgendwie immernoch nicht ersichtlich, wie man auf die Idee kommt eine Funktion aufzuleiten. Also der Zusammenhang zwischen einer unendlichen Summe und dem Aufleiten.
Ich kanns leider schwer erklären, was ich meine.

#5

Hallo,

dieser Zusammenhang ist auch nicht sofort ersichtlich. Es ist schön, wenn man mittels Ober- und Untersumme und Grenzwertbildung ein Integral bestimmen kann. Diese Vorgehensweise ist äußerst schwierig und nur mit einem hervorragenden Algebrawissen durchführbar.

Andererseits kann man den Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung beweisen. Daraus kann man eben ableiten, dass man um die Fläche zu berechnen einfach die Randfunktion „aufleiten“ muss.

Bei Wikipedia gibt es einen Beweis für diesen Satz. Ich kenne deine Kenntnisse nicht, aber vielleicht schaust du dir das einfach mal an.

Vielleicht genügt es, dass du einfach staunst, wie schön die Mathematik ist. An Stelle einer komplizierten Summation genügt es die Randfunktion „aufzuleiten“. In einem weiteren Schritt kann man dann erkennen, dass diese Stammfunktion eine viel wichtigere Bedeutung hat, als nur Flächen zu bestimmen, die keinen Mensch interessieren.

hth