Hallo,
Deine Lösung ist zweifelsohne richtig (*); sie stimmt mit den
Daten des diskreten Modells genau überein. Leider kann ich sie
noch nicht ganz nachvollziehen.
Insgesamt bekommst Du als Basis der Potenz 1,1; ich e^(0,1) =
1,10517…, also etwas zu viel. Wo ist mein Fehler?
wenn man es „wasserdicht“ macht (schmunzel… ja, darin verbirgt sich das Zugeständnis der Existenz nicht ganz wasserdichter Stellen im vorangegangenen Posting), läuft die Rechnung folgendermaßen.
Gegeben ist die rekursiv definierte Folge
Bn+1 = c Bn – d [
]
Hier ist c = 1.1, d = 12 und B0 = 200, aber da diese Zahlenwerte eigentlich uninteressant sind, rechne ich ganz allgemein mit c und d.
Ansatz: dB/dn = K B – D []
Einverstanden? Man darf hier nicht den Fehler machen, dB/dn = (c – 1) B – d anzusetzen! Das wäre „ein kleines bisschen“ falsch. Wie man sich zwar leicht überlegen kann, muss K ungefähr den Wert c – 1 haben (in dem Beispiel hier also 0.1) und D ungefähr den Wert d (hier 12), aber wir können nicht sicher sein, dass K genau mit c – 1 übereinstimmt, und D genau mit d!
Der Grund ist, dass [] eine „diskrete“ Verzinsung am Jahresende (und zwar mit dem Zinssatz c – 1) zuzüglich einer Abhebung des Betrags d an jedem Jahresende beschreibt, wohingegen die glatte Kurve, die wir als Lösung der DG [] erhalten werden, einer kontinuierlichen Verzinsung entspricht. Eine kontinuierliche Verzinsung von 10 % ist für den Kontoinhaber aber besser als eine jahresendemäßige: Bei ersterer hätte er am 31. 12. nur genau 1.1 mal soviel Geld auf dem Konto wie am 01. 01.; bei letzterer dagegen e1.1 – 1 ≈ 1.10517… mal so viel. (Je größer der Zins ist, desto größer ist der Unterschied. Bei einem fiktiven Zins von 100% stände einer Verdoppelung eine Ver-e-fachung gegenüber.)
Die korrekten Werte für K und D müssen deshalb „knallhart“ ausgerechnet werden. (Vorgriff: K = ln© = 0.09531…; D = d ln©/(c – 1) = 11.43722…)
Die Lösung von [] ist kein Problem:
dB/dn = K B – D
⇔ 1/(K B – D) dB = dn
⇔ ∫B0…B 1/(K B’ – D) dB’ = ∫0…n dn’
(Die ’ sollen nur die Integrationsvariablen kennzeichnen. Hier wird nichts abgeleitet!)
⇔ [1/K ln(K B’ – D)]B0…B = [n’]0…n
⇔ 1/K ln(K B – D) – 1/K ln(K B0 – D) = n
⇔ …
⇔ B(n) = (B0 – D/K) eK n + D/K
Das ist die Lösung der DG [].
Jetzt die Berechnung der noch unbekannten Werte von K und D. Einerseits ist B1 gemäß []
B1 = c B0 – d
andererseits ist es nach der obigen Lösung
B1 = (B0 – D/K) eK + D/K = B0 eK – (eK – 1) D/K
Jetzt können wir c und d identifizieren; die rechten Seiten werden identisch wenn
c = eK und d = (eK – 1) D/K
ist, das heißt wenn
K = ln© und D/K = d/(eK – 1) = d/(c – 1)
gilt. Damit können wir die Lösung schlussendlich mit c und d formulieren:
––––––––––––––––––––––––––––––––
B(n) = (B0 – d/(c – 1)) cn + d/(c – 1)
––––––––––––––––––––––––––––––––
In dem Beispiel hier ist also B(n) = (B0 – 12/0.1) 1.1n + 12/0.1) das explizite Äquivalent zu Bn+1 = 1.1 Bn – 12.
Alles klar? 
Gruß
Martin
