Hallo Leute,
ich versuche eine Rechenvorschrift zu entwickeln, mit der ich alle natürlichen Zahlen ermitteln kann, deren Quadratwurzel wieder eine natürliche Zahl ist. Geht das überhaupt? Mir ist aufgefallen
der zweite summand wird immer um 2 größer. Nur wie rechnet man das?
1+0 = 1
1+3 =4
4+5 =9
9+7 =16
.
.
.
MfG
Andreas
Hallo!
ich versuche eine Rechenvorschrift zu entwickeln, mit der ich
alle natürlichen Zahlen ermitteln kann, deren Quadratwurzel
wieder eine natürliche Zahl ist. Geht das überhaupt?
Ja:
x = n² mit n ∈ N
Okay, das war nicht ganz das, was Du gesucht hast. Ich glaube, Du suchst eine rekursive Definition:
Mir ist
aufgefallen
der zweite summand wird immer um 2 größer. Nur wie rechnet man
das?
1+0 = 1
1+3 =4
4+5 =9
9+7 =16
.
.
.
Genau so, wie Du gesagt hast:
x0 = 0
xn+1 = xn + 2n-1
Eine anschauliche Erklärung, warum die Quadratzahlen mit den ungeraden Zahlen zusammen hängen:
Wir haben ein Quadrat, das sich in 10 * 10 Kästchen einteilen lässt. Die Fläche beträgt also 100 Kästchen. Wenn man die Kantenlänge um 1 vergrößert, muss man rechts 10 Kästchen anfügen und oben 10 Kästchen anfügen. Außerdem braucht man ein weiteres Kästchen an der oberen rechten Ecke, macht 21 Kästchen zusätzlich. Nun sind es also 11 * 11 = 121 Kästchen. Also braucht man für die nächste Stufe 11 + 11 + 1 = 23 Kästchen zusätzlich, also 121 + 23 = 144 = 12 * 12. 144 + 25 = 169 = 13 *13 usw.
Michael
hi,
Genau so, wie Du gesagt hast:
x0 = 0
xn+1 = xn + 2n-1
kleiner fehler:
xn+1 = xn + 2n+1
m.
Hallo Namensvetter!
Genau so, wie Du gesagt hast:
x0 = 0
xn+1 = xn + 2n-1kleiner fehler:
xn+1 = xn + 2n+1
m.
Nein, ich beharre auf das Minus.
für n=1 gibt meine Formel: x1 = x0 + 2*1 - 1 = 0 + 2 - 1 = 1 (richtig).
für n=1 gibt Deine Formel: x1 = x0 + 2*1 + 1 = 0 + 2 + 1 = 3 (falsch).
Michael
hi,
Genau so, wie Du gesagt hast:
x0 = 0
xn+1 = xn + 2n-1kleiner fehler:
xn+1 = xn + 2n+1
m.Nein, ich beharre auf das Minus.
auf dem minus?
für n=1 gibt meine Formel: x1 = x0 + 2*1
- 1 = 0 + 2 - 1 = 1 (richtig).
für n=1 gibt Deine Formel: x1 = x0 + 2*1
- 1 = 0 + 2 + 1 = 3 (falsch).
bei n = 1 ist n+1 = 2. wenn n+1 = 1 sein soll, ist n = 0.
bei xn+1 = xn + 2n-1
ist n = 0, wenn du x1 ausrechnen willst. dann ist 2*0-1 = -1. das stimmt nicht. denn x1 = 1.
wenn du n=1 einsetzt, berechnest du mit der rekursionsformel x2.
und x2 = x1 + 3.
m.
Willkommen im Dilletantenklub! 
(Es gilt selbstverständlich immer das, was ich meine, und nie das, was ich sage).
bei n = 1 ist n+1 = 2. wenn n+1 = 1 sein soll, ist n = 0.
bei xn+1 = xn + 2n-1
ist n = 0, wenn du x1 ausrechnen willst. dann ist 2*0-1 = -1.
das stimmt nicht. denn x1 = 1.wenn du n=1 einsetzt, berechnest du mit der rekursionsformel
x2.
und x2 = x1 + 3.
Du hast natürlich vollkommen recht. Allerdings hatte ich mich nicht bei dem Minus vertan, sondern bei der Indizierung der Variablen. Meine richtige Version lautet daher:
x0 = 0
xn = xn-1 + 2n-1
(Natürlich ist diese vollkommen äquivalent zu Deiner Formulierung, aber sie gibt den Gedanken wieder, den ich auszudrücken geglaubt hatte).
Asche auf mein Haupt!
Michael