Wahrscheinlichkeitsamplituden
Hallo Stefan,
die Vermutung, die Wellenzuege des Lichts koennten etwas mit eienr Wahrscheinlichkeitsverteilung von Photonen zu tun haben ist gar nicht so weit hergeholt. Zunaechst muss aber erst mal geklaert werden, mit was fuer Wellen man es bei Licht eigentlich zu tun hat.
In der klassischen Elektrodynamik wird gezeigt, dass Licht ein elektrodynamisches Phaenomen ist, bei dem sich zeitliche Stoerungen im elektromagnetischen Feld im Raum ausbreiten. Wenn man sich an einen Raumpunkt P setzt, an dem Licht „passiert“, so koennte man theoretisch feststellen, dass sich die elektrische Feldstaerke E in P zeitlich periodisch aendert, ebenso die magnetische Feldstaerke B. E und B sind Vektoren, die beide senkrecht zur Ausbreitungsrichtung des Lichts stehen und auch senkrecht zueinander stehen. Ausserdem sind die Betraege von E und B proportional zueinander. Die momentane Intensitaet des Lichts ist proportional zu E*B, also auch proportional zu E^2. Soweit zur klassischen Elektrodynamik.
Nun hat man aber schon vor langer Zeit festgestellt, dass Licht nicht nur Welleneigenschaften aufweist, sondern sich auch in gewisser Weise wie Teilchen verhaelt. So hat Einstein zum Beispiel den Photoeffekt erklaert, indem er das Modell der Photonen einfuehrte. Nach diesem Modell besteht Licht aus einer Vielzahl von Photonen, von denen jedes einzelne Photon eine ganz bestimmte Portion an Energie traegt. Wenn eine Lichtquelle ideales monochromatisches Licht emittieren wuerde, bestaende dieses Licht ausschliesslich aus Photonen mit jeweils derselben Energie E_ph, wobei diese Energie proportional zur Frequenz und umgekehrt proportinal zur Wellenlaenge des Lichts waere.
Die Intensitaet des Lichtes ist proportional zur Zahl der Photonen, die pro Zeiteinheit durch eine feste Flaeche „fliegen“. Den Teilchencharkter des Lichtes kann man auch zeigen, indem man die Intensitaet einer der Lichtquelle immer weiter senkt. Igendwann registriert man (mit einem geeigneten Detektor) einzelne Photonen. Sehr schoen kann man dies bei Roentgenquellen beobachten, die bei niedriger Intensitaet einzelne „Klicks“ in einem Geigerzaehler ausloesen koennen.
Die Quantentheorie bringt nun beide Modelle (Wellencharakter Teilchenbild) wie folgt unter einen Hut:
Zunaechst wird geklaert, welches Ereignis genau beobahtet werden soll, zum Beispiel „Eine Quelle emittiert am Ort r1 ein Photon, dieses Photon propagiert zu einem Detektor am Ort r2 und wird dort zur Zeit t2 detektiert“. Diesem Ereignis kann nun eine komplexe Wahrscheinlichkeitsamplitue A zugeordnet werden. In der Quantenmechanik gibt es Regeln, wie man diese Wahrscheinlichkeitsamplitude bestimmt. Das Betragsquadrat dieser Wahrscheinlichkeitsamplitude gibt dann die Wahrscheinlichkeit an, mit der das Ereignis eintreten wird, also W=|A|^2. Die Wahrscheinlichkeitsamplitude fuer obiges Ereignis koennte zum Beispiel so aussehen: A=A0*exp(i*w*t2-i*w*(r2-r1)/c)/(r2-r1), wobei 2*Pi*w die Frequenz ist und c die Lichtgeschwindigkeit. Die Wahrscheinlichkeit fuer das Ereignis ist dann W(s,t)=|A0|^2/(r2-r1)^2, also unabhaegig von der Zeit t.
Sehr schoen laesst sich das Konzept der Quantenmechanik am Doppelspalt demonstrieren. Das Ereignis hierbei ist:
E0=„Ein Photon propagiert von einer Quelle via Doppelspalt zum Detektor jenseits des Doppelspaltes“. Es gibt nun 2 Alternativen, dieses Ereignis zu realisieren, und zwar
E1=„Das Photon propagiert von der Quelle zum linken Spalt und gelangt dann in den Detektor“ bzw.
E2=„Das Photon propagiert von der Quelle zum rechten Spalt und gelangt dann in den Detektor“.
Die Regeln der Quantenmechanik besagen nun, dass man die Wahrscheinlichkeitsamplitude fuer das Ereignis E durch Addieren der Wahrscheinlichkeitsamplituden der beiden Alternativen E1 und E2 erhaelt, vorausgesetzt, die Alternativen sind UNunterschieden. UNunterschieden heisst, es gibt keine Moeglichkeit festzustellen, welche Alternative realisiert wurde. Sobald das Photon eine Spur hinterlaesst, die darauf hindeutet, dass der eine Spalt aber nicht der andere passiert wurde, sind die Alternativen unterschieden und die Wahrscheinlichkeitsamplituden duerfen nicht addiert werden. Nehmen wir aber an, die Alternativen seien UNunterschieden, dann gilt: A0=A1+A2. Die Wahrscheinlichkeit fuer das Ereignis lautet dann:
W=|A1+A2|^2
=A1*cc(A1)+A2*cc(A2)+A1*cc(A2)+cc(A1)*A2
=|A1|^2+|A2|^2+2*Re(A1*cc(A2))
=W1+W2+IF. [cc(z) stehe fuer das komlex konjugierte von z)]
Die Wahrscheinlichkeit fuer das Ereignis ist also die Summe der Wahrscheinlichkeiten der Alternativen plus einen Term IF. IF ist der sogenannte Interferenzterm. Wie man hierbei deutlich sieht, bedeutet Interferenz keineswegs, dass irgendein Photon mit irgendwelchen anderen Photonen interferieren, sondern das Phaenomen der Interferenz findet bereits bei einem EINZIGEN Photon statt. Fuehrt man zum Beispiel das Doppelspalt-Experiment mit einer sehr niedrigen Intensitaet durch, so sieht man, dass irgendwann das erste Photon in einem bestimmten Pixel des Detektors „einschlaegt“. Etwas spaeter wird ein weiteres Photon von einem anderen Pixel registriert. Wenn man sehr lange wartet, erhaelt man schliessslich eine Haeufigkeitsverteilung von Potoneneinschlaegen, die sich der oben berechneten Wahrscheinlichkeitsverteilung W1 immer mehr annaehert, je laenger man wartet. Anstatt sehr lange zu warten kann man auch einfach die Intensitaet der Lichtquelle erhoehen. Die Wahrscheinlichkeitsverteilung W1 dann also proportional zur Intensitaet des Lichts in der Detektorebene.
Man kann also sagen: Um Messungen eines Experiments vorherzusagen, berechnet man die komplexe Wahrscheinlichkeitsamplitude des entsprechenden Ereignisses. Das Betragsquadrat ist dann die Wahrscheinlichkeit fuer dieses Ereignis. Im Falle des Lichts entspricht die so berechnete Wahrscheinlichkeitsverteilung der Intensitaet des Lichts, falls das Experiment mit sehr vielen Photonen durchhgefuert wird. Dabei ist es (in den allermeisten Faellen) unerheblich, ob die Photonen einzeln oder viele Photonen gleichzeit etwas tun. Im letzten Fall laesst sich das ganze wieder mittels klassischer Elektrodynamik beschreiben. Anstelle der Wahrscheinlichkeitsamplituden treten dann die (alt)bekannten Elektrischen bzw. Magnetischen Feldstaerken und anstelle der Wahrscheinlichkeit die Intensitaet. Anstatt von „UNunterschiedenen Alternativen“ ist dann die Rede von „kohaerenter Ueberlagerung von E-Feldern“. In der Elektrodynamik sind die den Wahrscheinlichkeitsamplituden entsprechenden E-Felder reell. Nur aus rechentechnschen Gruenden werden sie auch mal komplex „aufgeschrieben“, aber die E-Felder sind echte Messgroessen und daher reell. Die Wahrscheinlichkeitsamlituden sind hingegen inhaerent komplex und auch keine Messgroessen. Aus ihnen koennen aber (reelle) Messgroessen berechnet werden, z.B. die Wahrscheinlichkeitsverteilnug der Photonen.
Das Problem bei der klassischen Elektrodynamik ist jedoch, dass man nie so recht weiss, was mit wem interferiert. Beim Doppelspalt mag es noch recht einfach sein, aber schon beim Hanbury Brown-Twiss Experiment kommt man da in Schwierigkeiten.
Fazit: Die Wellen geben tatsaechlich eine Wahrscheinlichkeit an, wenn man unter Welle die komplexe Wahrscheinlichkeitsamplitude aus der Quantenmechanik versteht. Dass man die Wahrscheinlichkeitsamplitude manchmal als Welle bezeichnet, liegt daran, dass sie sehr haeufig die Eigenschaft der Retardierung besitzt, d.h. sehr haeufig hat sie die Form A(r,t)=A(t-r/c). Zeit und Ort gehen dann nur in der Form t-r/c ein. Die Wahrscheinlichkeitsamplitude, dass ein angeregtes Atom (Energiedifferenz zum Grundzustand sei E) mit unendlich langer Lebensdauer zum Zeitpunkt t ein Photon emittiert, betraegt zum Beispiel A1(t)=A0*exp(-i*w*t) (,wobei E=2*Pi*w*h gilt). Die Wahrscheinlichkeit ist dann W1(t)=|A0|^2, also von der Zeit unabhaengig. Die Wahrscheinlichkeitsamplitude, fuer die Propagation eines Photons vom Atom zu einem Detektor im Abstand r betraegt A2(t)=exp(i*w*r/c)*A1/r. Die Wahrscheinlichkeitsamplitude fuer das Gesamtereignis (Emission mit anschliessender Propagation) ist dann das Produkt aus den Wahrscheinlichkeitsamplituden der (sequentiellen) Teilereignis, also
A(r,t)=A1(t)*A2(t)
=A*exp(-iwt+i*w*r/c)/r
=A*exp(-i*w*[t-r/c])/r.
Wir haben es also mit einer monochromatschen Kugelwelle zu tun, deren Betragsquadrat die Wahrscheinlichkeit fuer das Antrefen eines vom Atom emittierten Photons angibt.
Was ich hier niederschreibe ist natuerlich alles andere als vollstaendig und an manchen Stellen vielleicht auch nicht ganz sauber formuliert. Ich hoffe aber, dass ich dir einige Anregungen geben konnte, dich mit der Sache weiter auseinanderzusetzen. Es gibt da jede Menge interessante Sachen. Sehr lesenswert zu diesem Thema ist das Buch „QED, Die seltsame Theorie des Lichts und der Materie“ von Richard Feynman (http://www.amazon.de/exec/obidos/ASIN/3492215629/028…)
Es ist auch fuer Nichtphysiker sehr verstaendlich; viel Prosa und wenig Formeln.
Viele Gruesse
Jens
