Wachsend und fallend

Wissenschaft Physik
1

Seien a,b Elemente von R mit a [a,b] monoton wachsend. Zeigen Sie, dass es ein c Element von [a,b] gibt mit f© = c. Gilt der Satz auch für monoton fallende Abbildungen f: [a,b] -> [a,b]? (Beweis oder Gegenbeispiel!)

Eigener Kommentar:

Ein Widerspruchsbeweis ist wahrscheinlich hier am einfachsten.
Im Intervall [a,b] schneidet f(x) die Winkelhalbierende , wobei x Element von Q daraus folgt ein Widerspruch, da Q im Gegensatz zu R löchrig ist und so die Winkelhalbierende verfehlt.
Das Supremum liegt in R, aber nicht in Q. Man muss mit der Vollständigkeit von R argumentieren.

2

Nochmal hallo, Christoph,

Seien a,b Elemente von R mit a [a,b]
monoton wachsend. Zeigen Sie, dass es ein c Element von [a,b]
gibt mit f© = c. Gilt der Satz auch für monoton fallende
Abbildungen f: [a,b] -> [a,b]? (Beweis oder Gegenbeispiel!)

Ich verstehe es vielleicht nicht ganz… Möchtest Du wissen wie es geht, oder nur einen Tipp, oder nichts von alledem?

Eigener Kommentar:

Ein Widerspruchsbeweis ist wahrscheinlich hier am einfachsten.
Im Intervall [a,b] schneidet f(x) die Winkelhalbierende ,
wobei x Element von Q daraus folgt ein Widerspruch, da Q im
Gegensatz zu R löchrig ist und so die Winkelhalbierende
verfehlt.
Das Supremum liegt in R, aber nicht in Q. Man muss mit der
Vollständigkeit von R argumentieren.

Eigener Kommentar:

Deinen Beweis des Satzes kann ich nicht ganz nachvollziehen und im Fall „monoton fallend“ gibt es ein einfaches Gegenbeispiel mit nur einer Unstetigkeitsstelle - was übrigens weder mit dem Supremum noch mit der Vollständigkeit von R zu tun hat…

Grüße,
Martin

3

Hallo Chrisoph,

wo steht, dass Deine Abbildungen stetig sind? Ist hier entscheidend.
Wenn ja --> Zwischenwertsatz (vgl. Forster, Übungsbuch)
Wenn nein --> na, das Gegenbeispiel fällt Dir wohl selber ein.

Gruß
Katharina

[Bei dieser Antwort wurde das Vollzitat nachträglich automatisiert entfernt]