Kann mir jemand sagen, ob die Funktion „f(x) = (x (x - 1)) / 2“ einen bestimmten Namen bzw. bestimmte Eigenschaften hat?
Hintergrund:
Ich habe n Individuen, zB. n = 14. Die Frage ist nun: Wie viele Beziehungen gibt es zwischen den n Individuen.
Also: Ich zeichne 14 Punkte und verbinde jeden mit jedem.
Ich habe (empirisch) festgestellt, daß die Anzahl der Beziehungen b = (n (n - 1)) / 2. Bei n = 14 ist b somit 91.
So schaut die Wertetabelle für n = 0 bis n = 15 aus:
n = 0 --> b = 0
n = 1 --> b = 0
n = 2 --> b = 1
n = 3 --> b = 3
n = 4 --> b = 6
n = 5 --> b = 10
n = 6 --> b = 15
n = 7 --> b = 21
n = 8 --> b = 28
n = 9 --> b = 36
n = 10 --> b = 45
n = 11 --> b = 55
n = 12 --> b = 66
n = 13 --> b = 78
n = 14 --> b = 91
n = 15 --> b = 106
Meine (weitere) Frage: Welchen graphischen Verlauf hat die b-Zahlenreihe 0, 0, 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55, 66, 78, 91, 106, usw.?
Ist das eine quadratische Funktion? Kann man sagen: „b wächst exponentiell“?
Gibts irgendwo einen Graphen oder eine „excel-geeignete“ Zahlenreihe, mit der ich mir im Diagrammmanager den Graph zeichnen könnte?
Hintergrund:
Ich habe n Individuen, zB. n = 14. Die Frage ist nun: Wie
viele Beziehungen gibt es zwischen den n Individuen.
Also: Ich zeichne 14 Punkte und verbinde jeden mit jedem.
Ich habe (empirisch) festgestellt, daß die Anzahl der
Beziehungen b = (n (n - 1)) / 2. Bei n = 14 ist b somit 91.
So schaut die Wertetabelle für n = 0 bis n = 15 aus:
n = 0 --> b = 0
n = 1 --> b = 0
n = 2 --> b = 1
n = 3 --> b = 3
n = 4 --> b = 6
n = 5 --> b = 10
n = 6 --> b = 15
n = 7 --> b = 21
n = 8 --> b = 28
n = 9 --> b = 36
n = 10 --> b = 45
n = 11 --> b = 55
n = 12 --> b = 66
n = 13 --> b = 78
n = 14 --> b = 91
n = 15 --> b = 106
Meine (weitere) Frage: Welchen graphischen Verlauf hat die
b-Zahlenreihe 0, 0, 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55, 66,
78, 91, 106, usw.?
Ist das eine quadratische Funktion? Kann man sagen: „b wächst
exponentiell“?
Gibts irgendwo einen Graphen oder eine „excel-geeignete“
Zahlenreihe, mit der ich mir im Diagrammmanager den Graph
zeichnen könnte?
Das Stichwort Fibonnacci könnte hier eher weiterhelfen…
Allerdings kann man durchaus exponentielles Wachstum annehmen. Solange der Vermehrung keine Grenzen gesetzt werden
Kann mir jemand sagen, ob die Funktion „f(x) = (x (x - 1)) /
2“ einen bestimmten Namen bzw. bestimmte Eigenschaften hat?
einen eigenen Namen hat diese Funktion nicht.
Ist das eine quadratische Funktion? Kann man sagen: „b wächst
exponentiell“?
Ja, es handelt sich um eine quadratische Funktion, d. h. um ein Polynom vom Grad 2. Das erkennst Du anhand der Funktionsvorschrift. x (x - 1)/2 ist ausmultipliziert gleich (x² - x)/2. Das „/2“ hat auf den prinzipiellen Charakter der Funktion keinen Einfluß und muß daher nicht weiter beachtet werden. Da x² viel schneller wächst als x, sieht die Funktion x² - x aus „genügend großer Entfernung“ betrachtet, d. h. wenn Du aus dem Koordinatensystem nur ausreichend stark „herauszoomst“, genauso aus wie die Funkton x². Folglich sieht die Funktion (x² - x)/2 auf großer x- und y- Skala (z. B. x von -1000 bis + 1000, y-Bereich passend dazu) genauso aus wie x²/2, und wie der Graph von x²/2 aussieht, solltest Du auch ohne Funktionenplotter wissen.
Hinsichtlich des Wachstumscharakters von f(x) = x (x - 1)/2 trifft also die Aussage „wächst quadratisch“ zu. „Wächst polynomiell“ ist ebenfalls richtig (jedoch weniger stark, weil allgemeiner). Die Aussage „wächst exponentiell“ wäre jedoch eindeutig falsch! Denn Funktionen mit exponentiellem Wachstum zeichnen sich durch ein x im Exponenten aus; ein Beispiel wäre etwa f(x) = 2x. Bei Deiner Funktion ist jedoch der höchste auftretende Exponent nur eine konstante 2.
