Hallo,
ich habe eine Frage, die ich durch folgendes Modell versuche zu beschreibe.
Gegeben sind 2 Behälter, gefüllt mit Wasser. Ein großer Behälter und ein sehr kleiner (Volumenverhältnis etwa 20:1). Beide Behälter sind über 2 Rohre (Vor- /Rücklauf) miteinander verbunden; eine zwischengeschaltetet Pumpe ermöglicht die Wasserzirkulation zwischen den beiden Behältern.
Der große Behälter dient als Speicher; dessen Wassertemperatur zum Zeitpunkt 0 sei Raumtemperatur.
Das Wasser im kleinen Behälter wird über eine äußere Heizquelle mit konstanter Energiezufuhr ab dem Zeitpunkt 0 über n Stunden erwärmt.
Die Pumpe kennt 2 Betriebsarten: Dauerbetrieb und Intervallbetrieb ( mit Pulsdauer viel kleiner n ).
Meine Frage: Mit welcher Betriebsart der Pumpe kann man nach n Stunden eine höhere Wassertemperatur im großen Behälter erzielen ? (Wärmeverlust des großen Behälters vernachlässigbar; Wärmeverlust der Rohrleitung nicht vernachlässigbar, aber nicht bekannt - Kunststoffleitung, ca. 10 m Länge, styroporisoliert).
Wäre es ein ideales System, d.h. ohne Wärmeverluste von Rohr und Speicher, so wäre die Betriebsart sicherlich egal; aber wie sieht es in diesem Falle aus ?
Das Ganze hört sich nach einer solarthermischen Anlage an und die Frage ist leider alles andere als leicht zu beantworten. Ich habe zumindest ein paar Differentialgleichungen für die Temperaturen der beiden Behälter aufgestellt:
ΔT1 = Differenz der Temperatur im kleinen Behälter gegenüber der Umgebung
ΔT2 = Differenz der Temperatur im großen Behälter gegenüber der Umgebung
V1 = Volumen des kleinen Behälters
V2 = Volumen des großen Behälters
τ1 = thermische Zeitkonstante des kleinen Behälters
τ2 = thermische Zeitkonstante des großen Behälters
τ21 = thermische Zeitkonstante der Leitung vom großen zum kleinen Behälter
τ12 = thermische Zeitkonstante der Leitung vom kleinen zum großen Behälter
v21 = Strömungsgeschwindigkeit in der Leitung vom großen zum kleinen Behälter
v12 = Strömungsgeschwindigkeit in der Leitung vom kleinen zum großen Behälter
l21 = Länge der Leitung vom großen zum kleinen Behälter
l12 = Länge der Leitung vom kleinen zum großen Behälter
p = Heizleistung
Cp1 = Wärmekapazität des kleinen Behälters
(dV/dt) = v12*A12 = v21*A21 = Volumenstrom zwischen den Behältern
Die Aufgabe besteht nun darin ein (dV/dt)(t) zu finden, bei dem ΔT2(t) maximlar wird. Leider ist die analytische Lösung des Differentialgleichungssystems alles andere als einfach (falls das überhaupt geht), so daß eigentlich nur eine numerische Lösung bleibt. Das ist aber wiederum nicht möglich, wenn man nicht wenigstens Schätzwerte für die beteiligten Größen hat.
Wenn das Gerät bereits vorhanden ist (und nicht erst gebaut werden soll), dann kann man diese Größen aber relativ leicht bestimmen. Die Volumina der Behälter, die Längen, Querschnittsflächen und Strömungsgeschwindigkeiten in den Leitungen sowie die Heizleistung und die Wärmekapazität des ersten Behälters sind dabei am einfachsten zugänglich.
Aber auch die Bestimmung der thermischen Zeitkonstanten ist nicht allzu schwierig. Dazu füllt man einfach heißes Wasser in die Behälter und Leitungen und mißt dann die Temperaturen. Wenn man so viele Temperatur-Zeit-Paare hat, daß bei der grafischen Auftragung ein exponetielles Abklingen erkennbar ist, trägt man einfach ln(ΔT) gegen die Zeit auf und erhält eine Gerade mit dem Anstieg 1/τ. Noch besser wäre natürlich eine nichtlineare Regression, aber wir wollen ja nicht mit Kanonen auf Spatzen schießen. Die einfachste Methode besteht natürlich darin, die Zeit zu messen, in der die Behälter bzw. Leitungen auf da 1/e-fache ihrer ursprünglichen Temperatur abkühlen. Diese Zeitspanne ist nämlich das, was als thermische Zeitkonstante bezeichnet wird. Das ist allerdings deutlich ungenauer, als die Auswertung einer kompletten Temperatur-Zeit-Kurve.
Nachdem man alle Werte zusammen hat, muß man nur noch ein Profgramm schreiben, welches ΔT2 in Abhängigkeit vom Pumpintervall berechnet und als Kurve ausgibt. Die gesuchte Intervallzeit findet man dann am Maximum dieser Kurve.
Das Ganze hört sich nach einer solarthermischen Anlage an und
die Frage ist leider alles andere als leicht zu beantworten.
Ja, soll ein vereinfachtes Modell einer Solaranlage sein. Standardmäßig laufen die Pumpen ja ganztägig - wenn eine best. Temperatur überschritten wird. Mr. Stupid, danke für Deine Mühe, aber bevor ich anfange, die DGLs zu lösen, werde ich einfach mal einige praktische Tests mit beiden Betriebsmodis fahren und die bessere Variante empirisch ermitteln - scheint in diesem Falle wohl einfacher und sinnvoller zu sein als jede Theorie.
bevor ich anfange, die DGLs zu lösen, werde ich
einfach mal einige praktische Tests mit beiden Betriebsmodis
fahren und die bessere Variante empirisch ermitteln - scheint
in diesem Falle wohl einfacher und sinnvoller zu sein als jede
Theorie.
Das ist auf jeden Fall besser, zumal mir jetzt aufgefallen ist, daß die Differentialgleichungen nur für konstante Strömungsgeschwindigkeiten gelten und somit nicht geeignet sind, um das Problem zu beschreiben. Für eine korrekte Beschreibung müßte man den Temperaturverlauf im Inneren der Rohre berücksichtigen, was auf partielle Differentialgleichungern hinausläuft. Da das Ganze aber auch dann noch eine Näherung darstellt, lohnt es sich nur, wenn Ausprobieren definitiv zu aufwendig ist.