Wärmeübergang langer Zylinder

Wissenschaft Physik
#1

Hallo

Folgende Problematik:
Ein Stab mit rundem Querschnitt und Anfangstemperatur T0 liegt in einem Wärmebad.
Gesucht ist das sich einstellende Temperaturprofil in Abhängikeit von der Zeit.
Also wann ist der Stab vom Rand bis in die Mitte durchgewärmt?

Die zu Grunde liegende Wärmeleitungsgleichung ist (Zylinderkoordinaten!)

dT 1 d dT
-- = A - -- ( r -- ) + Quellterm 
dt r dr dr

Und davon bräuchte ich die Lösung.
Separationsansatz, numerische Lösung etc. ??

Ich kann mir nicht vorstellen, dass sich noch nie jemand damit befasst hat.
Leider liefern die Beispiele, die ich „ergoogelt“ bzw. „erwickied“ habe immer nur eine Lösung in Längsrichtung :frowning:

Kann mir da jemand helfen?

Danke+Gruss

Ratz

#2

Hallo,

wass ich gestern nicht gesehen habe, Du kannst erstmal die Produktregel anwenden:

dT 1 d dT
-- = A - -- ( r -- ) + Quellterm
dt r dr dr

 +- -+
dT | d²T 1 dT |
-- = A| --- + - -- | + Quellterm
dt | dr² r dr |
 +- -+

Das ist dann eine Besselsche Differentialgleichung, die sich mit dem Separationsansatz lösen lässt.
Hier ein Lösung öhne die Quellen (die brauchst Du meiner Meinung nach auch nicht, da im Stab keine Wärmequellen sind).
http://physik.uni-graz.at/~cbl/mm/mm-Aufgaben.php?se…

Gruß
Torsten

#3

Hallo Torsten

Vielen Dank erstmal.

Muss mir das mal zu Gemüte führen.
Der Quellterm repräsentiert in meinem Fall das Wärmebad.

Gruss

Ratz

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#4

Hallo Ratz,

Muss mir das mal zu Gemüte führen.
Der Quellterm repräsentiert in meinem Fall das Wärmebad.

Ich hatte das so verstanden: du modellierst nur den Temperaturverlauf im Zylinder unter der Annahme, dass die Temperatur des Bades konstant ist. Dann geht das Wärmebad als Randbedingung bei der Lösung der Differentialgleichung ein.

Wenn sich die Temperatur des Wärmebades auch noch zeitlich ändert, glaube ich nicht, dass es eine analytische Lösung gibt.

Gruß
Torsten

#5

Hallo Torsten

Ich hatte das so verstanden: du modellierst nur den
Temperaturverlauf im Zylinder unter der Annahme, dass die
Temperatur des Bades konstant ist.

Isso

Dann geht das Wärmebad als
Randbedingung bei der Lösung der Differentialgleichung ein.

Nicht nur. Die DGL ohne Quellen bedeutet ja Energieerhaltung.
Jetzt fliesst ja aus dem Bad Wärme in den Stab.

Gruss

Ratz

#6

Nicht nur. Die DGL ohne Quellen bedeutet ja Energieerhaltung.
Jetzt fliesst ja aus dem Bad Wärme in den Stab.

Du hast einen Wärmestrom q aus dem Bad in den Stab. Diese ist wiederum (fast) proportional zur Temperaturdifferenz zwischen Oberflächen- und Badtemperatur:

q = alpha \* (T<sub>u</sub> - T<sub>o</sub>)

mit

alpha = Wärmeübergangskoeffizient [W/(m²\*K)]
T<sub>o</sub> = Oberflächentemperatur
T<sub>u</sub> = Umgebungstemperatur (Badtemperatur)

Das ist eine Randbedingung 2.Art für die DGL.
Die Bestimmung des alpha ist auch nicht ganz einfach, da alpha von den Umgebungsbedingungen (strömendes oder ruehndes fluid, Viskosität usw). abhängt.
http://de.wikipedia.org/wiki/W%C3%A4rme%C3%BCbergang…

Gruß
Torsten

#7

Danke für die Tips
Hallo Torsten

Danke für die Tips

Ich habe jetzt ein Programm geschrieben, was das numerisch löst.

Gruss

Ratz