Guten Tag,
also ich bin Geologe, und will eine 3km tiefe Erdwärmesonde berechnen. Leider habe ich hierbei ein Problem und hoffe auf eure Hilfe.
Durch ein Rohr wird ein Fluid mit einer Temperatur (T_0) in den Untergrund gepumpt. Aufgrund der Temperaturdifferenz zwischen Fluid (T_F) und Untergrund (T_U), erwärmt sich das Fluid. Der Wärmeübergang ist vom Wärmeübergangskoeffizienten (h) und der Temperaturdifferenz (delta T) abhängig. h kann ich über die Nußeltzahl etc. berechnen.
Q(watt)=h* delta T. Es wird angenommen das die T_U(z) linear mit der Tiefe zunimmt und nicht von der entzogenen Wärme beeinflusst wird.
Sooweit so gut.
Gibt es eine Differenzialgleichung die jetzt die Entwicklung von T_F(z) mit der Tiefe beschreibt. In Abhängigkeit von h, T_0, der Fließgeschwindigkeit (v) und T_U(z) und dem Querschnitt (A)?
Wird die Temperaturdifferenz und somit die Wärmeübertragung mit der Tiefe größer, wahrscheinlich schon, aber wie sieht der Zusammenhang mathematisch aus?
ich weiss ist ne sehr spezielle Frage aber leider weiss ich keine andere Möglichkeit. Schon mal vielen Dank
Nils Deecke
vor viiiiieeeeelen Jahren waren wir mal mit der Schulklasse im Bergbaumuseum in Bochum.
Unter Anderem sind wir auch in den Schacht eingefahren. Dabei erklärte uns der freundliche Erzähler folgendes: Hier bei uns ist es in 25 Tiefe ganzjährig konstant 9 °C. Alle 33 m weiter runter erhöht sich die Temperatur um 1 °C.
Moin,
das nennt sich geothermischer Gradient und ist unserem Geologen garantiert bekannt, da Stoff Erstes Semester.
Darüber hinaus ist der Geothermische Gradient nicht überall auf der Erde gleich groß. Der reicht von 2 K / 100 m bis 30 K /100 m.
Mit einer DGL kann ich nicht dienen (bin zu blöd ), aber lös dein
Problem doch numerisch :
Diskretisiere deine Sonde in sagen wir mal 1000 Schritte, also 3m a
Schritt.
Dann fängst du bei eins an:
Q_Punkt1 = k*2*pi*r*1m(T_U(0) - T_F(0))
T_F(1) = T_F(0) + m_punkt*c /Q_Punkt1
Dann zwei :
Q_Punkt2 = k*2*pi*r*1m(T_U(1) - T_F(1))
T_F(2) = T_F(1) + Q_Punkt2/(m_punkt*c)
Und so weiter.
Das ganze entspricht also einer linksseitigen Rechteckregel.
Differenziell also das System :
d_Q_punkt = k*2*pi*r*dx(T_U(x) - T_F(x))
d_T_F(x) = d_Q_punkt/(m_punkt * c)
System von 2 DGL, würd ich numerisch lösen, daraus folgt das
obere. Ist auch glaub ich sinnvoll.
Übrigens, du erkennst auch die Antwort auf deine 2te Frage :
bei geringem Massenstrom (und somit großem d_T_F(x)) sinkt der
Wärmeeintrag/Austrag mit der Tiefe, ansonsten kann er auch steigen).
Hallo, vielen Dank für die schnelle Antwort. Ich habe die numerische Variante mal ausprobiert. Allerdings habe ich deine Formel etwas abgewandelt.
h Wärmeübergangskoeffizient 10 watt/(m^2*K)
c Kapazität 4.18E+03 J/(K*kg)
v Fließgeschwindigkeit 0.044785193 m/s
A Fläche 0.074429362 m^2
Q_fluid Volumenstrom 0.003333333 m^3/s
rho Dichte 1000 kg/m^3
r radius 0.16 m
radius passt nicht zur Fläche da es sich um einen Ringraum handelt (Koaxialsonde)
), aber lös dein