Wahr oder falsch?

Wissenschaft Physik
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Hallo ich habe hier eine Verständnisaufgabe zu der einige Aussagen gemacht wurden und jetzt beurteilt werden soll ob diese Aussagen wahr sind oder falsch, hab aber bei ein paar keine Ahnung und kann es mir auch nicht erklären!

Also die Aufgabe lautet: Sei A€R^(nxn) und sei v ein Eigenvektor von A. Folgende Aussagen sollen nun mit wahr oder falsch beurteilt werden und warum das so ist? hab hier mal Aussagen, bei denen ich nicht mehr weiter komme:

  1. Wenn A orthogonal ist, dann gilt Rg(A) = n?
  2. v ist Eigenvektor von A^4 + A^3 + En?
  3. A + A^Trans ist diagonalisierbar?
  4. Wenn A lauter verschiedene Eigenwerte hat, dann ist A diagonalisierbar?
  5. A ist regulär genau dann, wenn = Eigenwert von A ist?
  6. Wenn A diagonalisierbar is, dann hat A lauter verschiedene Eigenwerte?

Also diese 6 Fragen fehlen mir und wäre gut wenn es mir jemand erklären könnte warum es wahr oder falsch ist?

lg Daniel

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Hallo!

  1. Wenn A orthogonal ist, dann gilt Rg(A) = n?
  2. v ist Eigenvektor von A^4 + A^3 + En?
  3. A + A^Trans ist diagonalisierbar?
  4. Wenn A lauter verschiedene Eigenwerte hat, dann ist A
    diagonalisierbar?
  5. A ist regulär genau dann, wenn = Eigenwert von A ist?
  6. Wenn A diagonalisierbar is, dann hat A lauter verschiedene
    Eigenwerte?

Hast Du ueber diese Fragen schon einmal selber nachgedacht? Das solltest Du unbedingt tun!

Zu 6): Was beduetet es denn, wenn eine Matrix diagonalisierbar ist? Schau in Deine Unterlagen; da steht ganz bestimmt so etwas wie

A ist diagonalisierbar Es gibt Matrizen S und T, sodass SAT eine Diagonalmatrix ist, deren Eintraege …

Ergaenze die Punkte selber. Was genau steht da? Muss es Eigenwerte geben? Wenn ja, wie viele? Muessen sie verschieden sein?

  1. ist so unverstaendlich. Damit kann man nichts anfangen.

  2. siehe 6). Oder: Zu jedem Eigenwert gehoert ein Eigenvektor. Zu verschiedenen Eigenwerten gehoeren auch verschiedene Eigenvektoren. Warum? Das solltest Du selber herausfinden. Sind die Eigenvektoren zu verschiedenen Eigenwerten linear unabhaengig? Das sollte in der Vorlesung geklaert worden sein. Wenn ja, dann hast Du eine Basis aus Eigenvektoren, wenn Du nur genug (naemlich wie viele?) Eigenvektoren hast. Hast Du die denn? Du schreibst, A habe „lauter verschiedene“ Eigenwerte. Wie viele sollen es denn sein? Sagt die Aufgabe das? Dann kannst Du weiterrechnen. Ansonsten gehe zu Deinem Uebungsleiter und sage ihm, dass die Frage unklar gestellt sei.

  3. Rechne das doch nach. v ist Eigenvektor zu A. Was bedeutet das denn? Was ist also A.v? Was ist dann A^4.v = AAAAv?

  4. Was bedeutet denn orthogonal? Schaue Dir die Definition an. Und wann hat eine Matrix den maximalen Rang? Dazu stand bestimmt auch ein Satz an der Tafel. Also ueberlege, ob sich diese Dinge zur Deckung bringen lassen!

Gruss,
Klaus