Wahrheitswert v.Aussagen mit log.Folgerung ermitt

Wissenschaft Physik
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Folgendes „praktisches“ Problem:

Ein Inspektor ermittelt. Da sind 4 Typen, genannt Albert, Berthold, Caesar und Diethelm, verdächtig etwas angestllt zu haben. Die Ermittlungen ergaben:

  1. wenn Albert schuldig ist, dann Berthold auch
  2. Wenn Berthold schuldig ist, dann war auch Caesar beteiligt, oder Albert ist unschuldig.
  3. Wenn Diethelm unschuldig ist, dann muss Albert schuldig sein und Caesar unschuldig
  4. Wenn Diethelm schuldig ist, dann auch Albert

Könnten alle 4 Dreck am Stecken haben?

meine Schreibweise als log. Aussagen:

  1. A–>B
  2. B–>(C v NichtA)
  3. NichtD --> (A ^ NichtC)
  4. D–>A

alle schuldig: A^B^C^D

Ich habe alles in eine Aussage gesteckt:
1^2^3^4–>A^B^C^D

Meine Fragen:

  1. Wie kann ich anhand der Wahrheitstabelle sehen, ob alle 4 schuldig sind? - Bei 5 Interpretationen sind alle 5 Formeln wahr.
  2. Wie kann ich durch äquivalentes Umformen oder durch Beweis mit Negation ermitteln, ob alle 4 schuldig sind. Meine Umformversuche verliefen alle im Sande - ich konnte so gut wie nichts vereinfachen.

Danke

Ajo

2

Hallo Andre,

[…]
Könnten alle 4 Dreck am Stecken haben?

meine Schreibweise als log. Aussagen:

  1. A–>B
  2. B–>(C v NichtA)
  3. NichtD --> (A ^ NichtC)
  4. D–>A

alle schuldig: A^B^C^D

ACK

Ich habe alles in eine Aussage gesteckt:
1^2^3^4–>A^B^C^D

Dies stimmt nicht.

Könnten alle Dreck am Stecken haben ist genau die umgekehrte Aussage:

A^B^C^D --> 1^2^3^4
Wenn alle schuldig sind, wiederspricht das dann den Ermittlungen ?

Meine Fragen:

  1. Wie kann ich anhand der Wahrheitstabelle sehen, ob alle 4
    schuldig sind? - Bei 5 Interpretationen sind alle 5 Formeln
    wahr.

Es gibt nur eine Interpretation, unter der alle Formeln wahr sind. A=B=C=D=true (*)

  1. Wie kann ich durch äquivalentes Umformen oder durch Beweis
    mit Negation ermitteln, ob alle 4 schuldig sind. Meine
    Umformversuche verliefen alle im Sande - ich konnte so gut wie
    nichts vereinfachen.

Für den Beweis der Äquivalenz muss man die eine Formel in die andere überführen können. Mann muss also 1^2^3^4 in A^B^C^D umformen können. Dass dies möglich ist, ergibt sich aus (*)

1-4 umgeformt, # steht für Nicht:
1 #AvB
2 #Av#BvC
3 (A^#C)vD = (AvD)^(#CvD)
4 Av#D

Bildet man nun 1^2^3^4, so hat man eine KNF. Da das Ziel der Beweis der Äquivalenz mit A^B^C^D ist, sollte es reichen, diese KNF in eine DNF umzuformen. Eines der Disjunktionsglieder müsste dann zu A^B^C^D werden, alle anderen zu false werden.

Wird aber trotzdem eine …-Rechnerei

a+
Hartmut

3

Hallo Ajo,

Ein Inspektor ermittelt. Da sind 4 Typen, genannt Albert,
Berthold, Caesar und Diethelm, verdächtig etwas angestllt zu
haben. Die Ermittlungen ergaben:

  1. wenn Albert schuldig ist, dann Berthold auch
  2. Wenn Berthold schuldig ist, dann war auch Caesar beteiligt,
    oder Albert ist unschuldig.
  3. Wenn Diethelm unschuldig ist, dann muss Albert schuldig
    sein und Caesar unschuldig
  4. Wenn Diethelm schuldig ist, dann auch Albert

Könnten alle 4 Dreck am Stecken haben?

Nachdem die Ermittlungen die obigen vier Aussagen ergeben haben, müssen diese also als gültig (wahr) vorausgesetzt werden.

Die Frage, ob alle vier Dreck am Stecken haben ‚könnten‘ bedeutet dann doch schlicht und einfach zu überprüfen, ob die gegebenen vier Aussagen alle wahr werden, falls A,B,C und D alle schuldig sind. Mehr ist laut Aufgabenstellung gar nicht verlangt und alles was weitergehend in die Aufgabe hineininterpretiert wird sind pure Vermutungen, die nicht notwendig richtig sein müssen und demnach auch nicht notwendiger Weise nachgewiesen werden können.

meine Schreibweise als log. Aussagen:

  1. A–>B
  2. B–>(C v NichtA)
  3. NichtD --> (A ^ NichtC)
  4. D–>A

Ok, vollkommen richtig, falls A für „A ist schuldig“ und analog für B,C und D kodiert wird.

alle schuldig: A^B^C^D

Hätte ich direkt ersetzt als: A=w, B=w, C=w und D=w. Natürlich ist dann auch A^B^C^D=w und umgekehrt.

Ich habe alles in eine Aussage gesteckt:
1^2^3^4–>A^B^C^D

Meine Fragen:

  1. Wie kann ich anhand der Wahrheitstabelle sehen, ob alle 4
    schuldig sind? - Bei 5 Interpretationen sind alle 5 Formeln
    wahr.
  2. Wie kann ich durch äquivalentes Umformen oder durch Beweis
    mit Negation ermitteln, ob alle 4 schuldig sind. Meine
    Umformversuche verliefen alle im Sande - ich konnte so gut wie
    nichts vereinfachen.

Siehe Bemerkungen oben. Du versuchst viel zu viel zu zeigen. So viel steckt gar nicht hinter der Frage und deshalb funktioniert Dein mühsam versuchter Beweis auch nicht.

Gilt A=B=C=D=w, so liefern die vier Aussagen:

  1. A–>B = w–>w = w
  2. B–>(C v NichtA) = w–>(w v f) = w
  3. NichtD --> (A ^ NichtC) = f–>(…) = w (ex falso quodlibet)
  4. D–>A = w–>w = w

Ergebnis: alle vier Aussagen werden tatsächlich wahr. Also ist es möglich, daß alle vier schuldig sind.

Hoffe Dir geholfen zu haben

Helga

4

danke
danke erst mal, ich blick’ da zwar noch nicht ganz durch, aber ich schau’ es mir noch mal in einer ruhigen Stunde an.

Ajo