Folgende Aufgabe bringt mich ins Grübeln:
4 Personen betreten einen Fahrstuhl eines Hauses mit 6 Stockwerken. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, das:
Über Baumdiagramm ist zu umständlich, aber auch mit Hilfe der Kombinatorik komme ich zu keiner vernünftigen Lösung?
Kann jemand helfen?
Mit besten dank im voraus
teddy
Hallo.
Folgende Aufgabe bringt mich ins Grübeln:
4 Personen betreten einen Fahrstuhl eines Hauses mit 6
Stockwerken. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, das:
- alle 4 in einen Stockwerk
Die Wahrscheinlichkeit, dass die erste Person in einem bestimmten Stockwerk (sagen wir im ersten) aussteigt, ist 1/6
Die WK, dass die zweite Person in demselben Stockwerk aussteigt, ist auch 1/6. Dasgleiche gilt für die dritte und vierte Person. Insgesamt ist die WK, dass sie alle im ersten Stockwerk aussteigen
1/6 * 1/6 * 1/6 * 1/6
Sie könnten auch im 2., 3.,…,6. Stockwerk aussteigen, insgesamt also 6 Möglichkeiten, insgesamt ergibt sich die Lösung
6 * 1/6 * 1/6* 1/6 * 1/6
- 3 in einen Stockwerk
Selbes Spielchen hier.
Person 1 steigt im ersten Stockwerk aus -> 1/6
Person 2 steigt im ersten Stockwerk aus -> 1/6
Person 3 steigt im ersten Stockwerk aus -> 1/6
Person 4 steigt in einem anderen Stockwerk aus -> 5/6
Also 1/6 * 1/6 * 1/6 * 5/6
Insgesamt (es gibt ja 6 Stockwerke) ist die WK wieder
6 * 1/6 * 1/6 * 1/6 * 5/6
Ob nun die 2. Person diejenige ist, die in einem anderen Stockwerk aussteigt, ist egal, da die Personen untereiander sich nicht unterscheiden
- alle in unterschiedlichen Stzockwerken aussteigen
Person 1 steigt irgendwo aus -> Die WK ist 1
Person 2 steigt in einem anderen Stockwerk als Person 1 aus -> 5/6
Person 3 steigt in einem anderen Stockwerk als Person 1 und 2 aus -> 4/6
Person 4 … -> 3/6
Und nu alles multiplizieren
Disap
hi,
Folgende Aufgabe bringt mich ins Grübeln:
4 Personen betreten einen Fahrstuhl eines Hauses mit 6
Stockwerken. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, das:
- alle 4 in einen Stockwerk
- 3 in einen Stockwerk
- alle in unterschiedlichen Stzockwerken aussteigen
Über Baumdiagramm ist zu umständlich, aber auch mit Hilfe der
Kombinatorik komme ich zu keiner vernünftigen Lösung?
Kann jemand helfen?
das hängt davon ab, wie groß die ausstiegswahrscheinlichkeit pro stockwerk ist (wenn es im 2. stock freibier gibt …) und ob die personen unabhängig von einander agieren. (liebespaare steigen z.b. mit großer wsk gemeinsam aus. ehepaare vermutlich auch.)
ich setze im folgenden unabhängigkeit der personen und gleichverteilung unter den stockwerken voraus.
dann gibt es 6^4 gleich wahrscheinliche möglichkeiten für ausstiege (von 1111 über 1112 bis 6666). davon beziehen sich 6 (1111, 2222, …, 6666) auf die erste frage:
also p(alle 4 gemeinsam) = 6/6^4 = 1/6^3 = 1/216
für 3 gleiche gibt es dann
4 * 6 * 5 gleich wahrscheinliche ausstiegsvarianten
(von 12, 13, 14, 15, 16, 21, 23, …, 65 … wobei „ab“ heißt: 3 in stockwerk a und 1 in stockwerk b; das jeweils auf 4 varianten, nämlich z.b. 1112, 1121, 1211 und 2111)
p(3 gemeinsam) = 6 * 5 * 4 / 6^4 = 20/216
für alle getrennt gibt es von 1234 bis 3456 (6 über 4 = 15) möglichkeiten, aus den 6 stockwerken die 4 ausstiegsstockwerke auszuwählen. das jeweils wieder mit 4 möglichkeiten, gibt
p(alle getrennt) = 4 * 15 / 6^4 = 10/216
„in form“ bringen darfst du’s selbst.
hth
m.
Danke für die Rückmeldungen! Eigentlich gar nich so schwer , habe viel zu kompliziert gedacht…
Mit dem 1/6 Wahrscheinlichkeit für eine Person in einem bestimmtemn Stockwerk war mir ja klar , aber dann bin ich ins „stottern gekommen“…
Danke sagt
teddy
Hallo Teddy,
Michaels Lösung ist richtig, bzw. sie wäre richtig, wenn das Haus sieben Stockwerke hätte:
In einem der sechs Stockwerke müssen die Personen doch auch eingestiegen sein, und dort steigen sie garantiert nicht gleich wieder aus. Es gibt also jeweils nur fünf Möglichkeiten für das Ausstiegsstockwerk.
Michaels Rechnung muss entsprechend angepasst werden, aber das kriegst Du sicher selbst hin.
Liebe Grüße
Immo
P.S. Der Fehler in Disaps Argumentation ist: Er schreibt zwar, dass es egal sei, welche der vier Personen in einem anderen Stockwerk aussteigt – berücksichtigt dies aber nicht. Wenn etwas „egal“ ist, dann ist doch jede einzelne Möglichkeit gleich wahrscheinlich, also ist die Gesamtwahrscheinlichkeit die Summe der Teilwahrscheinlichkeiten (Person 1 steigt woanders aus: 5/6³, Person 2 steigt woanders aus: 5/6³ … zusammen 4*5/6³).
hi,
Michaels Lösung ist richtig, bzw. sie wäre richtig, wenn das
Haus sieben Stockwerke hätte:
In einem der sechs Stockwerke müssen die Personen doch auch
eingestiegen sein, und dort steigen sie garantiert nicht
gleich wieder aus.
hast im prinzip recht; fragt sich nur, was man unter „stockwerk“ versteht. hat ein „haus mit 6 stockwerken“ nun zum erdgeschoß noch 5 oder doch 6 etagen dazu? ja; meine überlegungen gingen davon aus, dass man im stockwerk 0 einsteigt und in bis zu 6 weitere stockwerke fahren kann.
m.
Hallo Vokietis
P.S. Der Fehler in Disaps Argumentation ist: Er schreibt zwar,
dass es egal sei, welche der vier Personen in einem anderen
Stockwerk aussteigt – berücksichtigt dies aber nicht. Wenn
etwas „egal“ ist, dann ist doch jede einzelne Möglichkeit
gleich wahrscheinlich, also ist die Gesamtwahrscheinlichkeit
die Summe der Teilwahrscheinlichkeiten (Person 1 steigt
woanders aus: 5/6³, Person 2 steigt woanders aus: 5/6³ …
zusammen 4*5/6³).
Kannst du das mal näher erläutern? Beziehst du dich auf die dritte Frage: „Alle steigen in unterschiedlichen Stockwerken aus“? Irgendwie würde das (damit meine ich 4*5/6^3) dann aber nicht passen.
MfG
Disap
Hallo Disap!
Beziehst du dich auf die dritte Frage?
Nein, da hast Du alles richtig gemacht. Muss ich wohl noch mal ’ne Antwort an Michael schreiben, ich hatte das nur überflogen, aber bei ihm stimmt die Lösung der dritten Frage nicht (weil an dieser Stelle er nicht berücksichtigt, dass es egal ist, ob Person 1 im dritten Stock und Person 2 im vierten aussteigt oder umgekehrt.
Nein, ich bezog mich auf die zweite Frage. Da hast Du argumentiert, die Wahrscheinlichkeit dafür, dass drei der Personen im selben und eine in einem anderen Stockwerk aussteigen, sei 5/6³, weil es 5 Möglichkeiten für diese andere Person gibt, in einem anderen Stockwerk als die anderen drei auszusteigen. Schriebst dann, da es egal sei, welche Person abweicht, könnest Du o.B.d.A. die erste (oder letzte? ich vergaß es) betrachten.
Ich wies dann nur darauf hin, dass Du das zwar tun könnest, dann allerdings noch mit den vier Personen, für die alle dasselbe gilt (nämlich, dass die Wahrscheinlichkeit, dass gerade diese in einem anderen Stockwerk als die drei anderen aussteigt, 5/6³ beträgt), multiplizieren müssest.
Entschuldige meinen Satzbau, ich denke leider so. Um aus meinen Nebensätzen Hauptsätze zu bauen, bräuchte ich jetzt mehr Zeit. Ich hoffe, es ist trotzdem verständlich.
Liebe Grüße
Immo
Hi Michael,
ich habe gerade doch noch einen Fehler in Deiner Argumentation entdeckt, ich hatte sie zuvor nur überflogen und für richtig befunden:
für alle getrennt gibt es von 1234 bis 3456 (6 über 4 = 15)
möglichkeiten, aus den 6 stockwerken die 4 ausstiegsstockwerke
auszuwählen.
Hier zählst Du Möglichkeiten ohne Beachtung der Reihenfolge, was Du durch
das jeweils wieder mit 4 möglichkeiten, gibt
p(alle getrennt) = 4 * 15 / 6^4
auszugleichen suchst. Leider gelingt Dir dies nicht, da es nicht jeweils 4, sondern jeweils 4! Möglichkeiten sind (z.B. 1234: Person 1 – 1.OG, Person 2 – 2.OG, Person 3 – 3.Og, Person 4 – 4.OG; P.1 – 1.OG, P.2 – 2.OG, P.3 – 4.OG, P.4 – 3.OG u.s.w. bis hin zu P.1 – 4.OG, P.2 – 3.OG, P.3 – 2.OG, P.4 – 1.OG) – also genau der Nenner von (6 über 4).
Die ganze Überlegung kannst Du also wie folgt vereinfachen:
Person 1 kann in einem beliebigen Stockwerk aussteigen (6 Mögl.), P.2 muss ein anderes wählen (5 Mögl.), P.3 wieder ein anderes, und für P.4 bleiben schließlich nur drei Stockwerke zur Auswahl, also insgesamt 6*5*4*3 Möglichkeiten. Damit ist
p(alle verschieden) = 6*5*4*3/6^4 = 5/6*3 = 5/18.
Liebe Grüße
Immo
Hallo und Danke für den Nachtrag Vokietis!
Du hast vollkommen Recht, wie ich nach gründlichen Überlegen noch festgestellt habe. Leider hatte ich einen üblen Denkfehler, sodass ich den Faktor 4 unterschlagen habe.
Damit ist das Ergebnis wirklich 4*5/6^3, wie du und Michael ja festgestellt habt.
Viele Güße und Danke für den Aha-Effekt
Disap
hi,
für alle getrennt gibt es von 1234 bis 3456 (6 über 4 = 15)
möglichkeiten, aus den 6 stockwerken die 4 ausstiegsstockwerke
auszuwählen.Hier zählst Du Möglichkeiten ohne Beachtung der Reihenfolge,
was Du durchdas jeweils wieder mit 4 möglichkeiten, gibt
p(alle getrennt) = 4 * 15 / 6^4
auszugleichen suchst. Leider gelingt Dir dies nicht, da es
nicht jeweils 4, sondern jeweils 4! Möglichkeiten sind
das stimmt natürlich. nicht 4, sondern 4!=24
m.