Hallo Experten,
weiß jemand wie man Wahrscheinlichkeiten folgender Form lösen kann:
„Wie groß muss die Anzahl m von Schülern sein, damit die Wahrscheinlichkeit, daß zwei Schüler das gleiche Geburtsdatum haben, größer als 1/2 ist?“
Danke schonmal im Voraus!
Hi Oliver 
))
m=23 Schüler
cu Stefan.
Hi Oliver
m=23 Schüler
cu Stefan.
und wie kommt man da drauf? Wär ja schon nett, wenn du das mal näher erklären würdest! )
Ausführliche Erklärung
Hi Oliver ))
und wie kommt man da drauf? Wär ja schon nett, wenn du das
mal näher erklären würdest!
Sorry, ich hatte da etwas wenig Zeit. Ist sonst auch nicht meine Art, daher hier die komplette Herleitung …
Der Einfachheit halber ignorieren wir Schaltjahre und sagen, dass ein Jahr 365 Tage hat. Das Geburtstagsproblem hat triviale Lösungen für N=1 Schüler und N>365 Schüler. Denn einen Schüler können wir mit keinem anderen vergleichen, und wenn 365 Schüler an verschiedenen Tagen Geburtstag haben, muss der Geburtstag des 366-ten Schülers mit einem anderen zusammenfallen.
Nun gut, unter diesen Nebenbedingungen (N>=2 und Nkeine zwei am Tag Geburtstag haben (das ist einfacher). Wir stellen auch vorab fest, dass die Geburtstage der Schüler voneinander unabhängig sind, d.h. der Geburtstag von S1 (Schüler 1) beeinflusst nicht den Geburtstag von S2 (Schüler 2) oder umgekehrt.
Für N=2 ist Q(2) leicht bestimmt. Wir nehmen S1 und vergleichen ihn mit S2. Die Wahrscheinlichkeit, dass beide nicht am gleichen Tag Geburtstag haben ist
Q(2) = 364/365,
denn es gibt 364 Möglichkeiten für einen verschiedenen Geburtstag bei insgesamt 365 möglichen Geburtstagen.
Jetzt gehen wir zu N=3 über. Die Schüler stehen wieder in einer Reihe. Wir nehmen S1, vergleichen ihn mit S2 und S3. Bei beiden Vergleichen ist die Wahrscheinlichkeit für unterschiedliche Geburtstage gleich (364/365). Jetzt müssen wir S2 noch mit S3 vergleichen. Allerdings wissen wir schon, dass S2 und S3 nicht am Geburtstag von S1 geboren sind. Es gibt also nur noch 364 anstatt 365 mögliche Tage. Die Wahrscheinlichkeit für einen unterschiedlichen Geburtstag von S2 und S3 ist daher (363/364). Wegen der Unabhängigkeit der Schüler-Geburtstage können wir die Einzelwahrscheinlichkeiten einfach multiplizieren und finden:
Q(3) = (364/365)2 * (363/364)
Jetzt ist klar, wie es weitergeht, sicherheitshalber schreiben wir noch zwei weitere Wahrscheinlichkeiten Q(N) hin:
Q(4) = (364/365)3 * (363/364)2 * (362/363)
Q(5) = (364/365)4 * (363/364)3 * (362/363)2 * (361/362)
Diese Ausdrücke sind noch etwas unhandlich. Wir wollen sie vereinfachen und betrachten dazu z.B. Q(5) etwas genauer. Zuerst den Zähler:
Zähler(Q(5))
= 3644 * 3633 * 3622 * 361
= 364 * (364*363) * (364*363*362) * (364*363*362*361)
= 364!/363! * 364!/362! * 364!/361! * 364!/360!
wobei das Ausrufezeichen die Fakultät bedeutet. Der Nenner sieht ähnlich aus („es ist alles nur um 1 größer“):
Nenner(Q(5))
= 3654 * 3643 * 3632 * 362
= 365 * (365*364) * (365*364*363) * (365*364*363*362)
= 365!/364! * 365!/363! * 365!/362! * 365!/361!
So, damit schreiben wir nun Q(5) wie folgt:
364!/363! \* 364!/362! \* 364!/361! \* 364!/360!
Q(5)= ---------------------------------------------
365!/364! \* 365!/363! \* 365!/362! \* 365!/361!
Im Nenner klammern wir 365^4 aus:
1 364!/363! \* 364!/362! \* 364!/361! \* 364!/360!
Q(5)= ----- \* ---------------------------------------------
365^4 364!/364! \* 364!/363! \* 364!/362! \* 364!/361!
und kürzen erstmal kräftig:
1 1/363! \* 1/362! \* 1/361! \* 1/360!
Q(5)= ----- \* ---------------------------------
365^4 1/364! \* 1/363! \* 1/362! \* 1/361!
und kürzen weiter:
1 1 \* 1 \* 1 \* 1/360!
Q(5)= ----- \* ---------------------------------
365^4 1/364! \* 1 \* 1 \* 1
und erhalten:
1 364!
Q(5)= ----- \* ----
365^4 360!
Damit es besser aussieht, erweitern wir noch mit 365:
1 365!
Q(5)= ----- \* ----
365^5 360!
Jetzt könnte man das noch für andere N machen, aber ich denke, man sieht schon das allgemeine Bildungsgesetz:
1 365!
Q(N)= ----- \* --------
365^N (365-N)!
Jetzt haben wir also die Wahrscheinlichkeit, dass keine zwei Schüler am gleichen Tag Geburtstag feiern. Die Wahrscheinlichkeit, dass wenigstens zwei am gleichen Tag Geburtstag feiern ist daher:
1 365!
P(N) = 1 - ----- \* --------
365^N (365-N)!
Diese Formel ist sicherlich immer noch etwas unhandlich. Für kleine N können wir jedoch die Stirling-Formel zur Abschätzung der Fakultät benutzen, diese lautet:
n! = sqrt(2*pi*n)*(n/e)^n
Setzen wir diese ein, so erhalten wir als Näherung:
P(N) = 1- (365/(365-N))^(365.5-N)/e^n
Jetzt könnte man diese Gleichung noch weiter bearbeiten, aber mir bluten schon die Finger. Daher setze ich einfach mal ein paar Werte für N ein und benutze meinen Taschenrechner:
P(22) = 47.6%
P(23) = 50.7%
P(24) = 53.8%
Wie du siehst, ist ab N=23 Schüler die Wahrscheinlichkeit größer als 50% …
Puuh! Ich hoffe, das war jetzt nicht zu kompliziert …
Viele Grüße
Stefan.
Hi Oliver,
um da drauf zu kommen, mußt Du Dich nur ein bischen kombinatorisch betätigen 
.
Es existieren (wenn man Schaltjahre unberücksichtigt läßt) 365 mögliche Geburtstage. Bei einer Menge aus N Personen gibt es deshalb 365^N mögliche „Geburtstagskonfigurationen“. Damit wäre die Mächtigkeit des Ergebnisraums schon abgehandelt.
Wir fragen nun, wieviele Konfigurationen aus dem Ergebnisraum es gibt, für die die Bedingung „Alle Personen haben an verschiedenen Tagen Geburtstag“ zutrifft (dies ist die zur ursprünglichen Spezifikation „mindestens zwei Personen haben an demselben Tag Geburtstag“ komplementäre Bedingung).
Um diese Untermenge zu erzeugen, können wir so vorgehen, daß wir aus dem 365-elementigen „Geburtstagsvorrat“ N Geburtstagsdati (Mehrzahl von Datum?) auswählen – wozu wir (365 über N) verschiedene Möglichkeiten haben – und dann die Geburtstagsdati auf die Personen verteilen, was wir auf N! verschiedene Arten bewerkstelligen können.
Die Anzahl der Konfigurationen aus dem Ergebnisraum, für die die Bedingung „Keine zwei Personen haben an demselben Tag Geburtstag“ zutrifft, ist damit bestimmt; es sind
N! (365 über N)
Somit beträgt die Wahrscheinlichkeit, daß auf einer Party keine zwei Personen an demselben Tag Geburtstag haben
N! (365 über N) / 365^N
Der Wert für N, bei dem diese Wahrscheinlichkeit erstmals kleiner als 0.5 ist, ist 23.
Mit freundlichem Gruß
Martin
Vielen Dank für die Hilfe!!
Hallo Experten,
Vielen Dank für die prompte und ausführliche Hilfe… ich muß zwar noch ein bißchenb drauf rumdenken, aber der Weg ist jetzt klar!
nochmals Danke
Oliver