Wahrscheinlichkeit

Wissenschaft Physik
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Kann mir jemand etwas zu folgendem Problem sagen:
23 Personen. Die Wahrscheinlichkeit, dass 2 davon am gleichen tag Geburtstag haben, soll über 50 Prozent liegen.
Es gibt bei 23 Personen 253 mögliche Paare, soweit verständlich.

Wie genau setzt man nun diese Zahl in ein Verhältnis zu den 365 Tagen des Jahres bzw. ist „über 50%“ wirklich richtig? Und warum?

timmi

( gefunden in: „Fermats letzter Satz“ von Simon Singh ).

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Zuerst rechnest Du die Wahrscheinlichkeit aus, dass von 23 Personen keiner am gleichen Tag Geburtstag hat.
Bei 3 Personen würde das so aussehen:

365/365*364/365*363/365=0,992 (99,2%)

Für die 2.Person beträgt die Wahrscheinlichkeit also 364/365, da sie an allen Tagen, bis auf den Geb. der ersten Person, Geb. haben kann, damit die Bedingung „keiner hat am gleichen Tag Geburtstag“ erfüllt ist.
Analog bleiben der 3. Person 363 Tage, was eine Wahrscheinlichkeit von 363/365 ergibt.

Die Wahrscheinlichkeit „Von 3 Personen mindestens 2 am gleichen Tag Geburtstag“ beträgt dann 1-„keiner am gleichen Tag Geburtstag“ (1-0,992)=0,008 (0,8%)

Für 23 Personen ergibt sich dann:

Wahrsch. „keiner am gleichen Tag Geburtstag“=

1-(365/365*364/365*363/365*…343/365)=1-0493=0,507 (50,7%)

(343/365 ist dabei die Wahrscheinlichkeit der 23ten Person, nicht mit einer der anderen 22 Personen am gleichen Tag Geb. zu haben.

Grüsse

Philipp

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Variante
Hallo,

diese Variante geht auch von

„2 haben am gleichen Tag Geb“ = 1 - „jeder hat an einem anderem TAg Geb.“

aus, aber bei der W. von „jeder hat an einem anderem TAg Geb.“
wird über Komibnationen gerechnet, was die Rechnung leichter macht:

Es gibt (365 über 23) verschiede Geburtstage und jede Komb. kann noch auf 23! unterschiedliche Arten variert (also vertauscht) werden. FAzit: es gibt (365 über 23)*23! mögliche Geb.kombinationen, sodaß alle Geb. verschieden sind.

Für die Gesamtzahl ALLER möglichen Geb. ergibt sich (da jede Person an 365 Tagen Geb haben kann):365^23.

also gilt für die Wahrscheinlichkeit, daß 2 Personen am gleichen Tag Geb. haben:

1- (365 über 23)*23!/365^23 = 50,7%

Gruß
OLIVER