Hallo Giani,
Sammeln wir mal Informationen: Sei A die Ereignismenge „Personen, die den Arbeitsweg mit den ÖV zurücklegen“, und B sei die Menge der „Personen, die ein Auto besitzen“.
Die Wahrscheinlichkeit, dass eine Person den Arbeitsweg mit
dem öffentlichen Verkehr zurücklegt, ist 80%.
In Symbolen: P(A) = 80% = 0,8 = 4/5.
(Je nachdem, ob Du lieber mit Prozenten, mit Dezimalbrüchen oder mit „richtigen“ Brüchen rechnest.)
Die Wsk, dass eine Person, die den Arbeitsweg mit dem ÖV zurücklegt UND ein
Auto besitzt, ist 50%.
Dieser Satz ergibt so leider keinen Sinn. Gemeint ist entweder:
a) Die Wsk, dass eine Person, die den Arbeitsweg mit dem ÖV zurücklegt , und ein Auto besitzt, ist 50%.
Das hieße, wir sehen uns nur die Personen an, die den Arbeitsweg mit dem ÖV zurücklegen (also ohnehin nur Menge A) und sagen: Von denen hat die Hälfte ein Auto.
Anders Formuliert: Wenn wir die Bedingung stellen, dass die Person der Menge A angehört, gilt B; oder in Symbolen:
P(B|A) = 50% = 0,5 = 1/2.
Es kann aber auch gemeint sein:
b) Die Wsk, dass eine Person , die den Arbeitsweg mit dem ÖV zurücklegt und ein Auto besitzt, ist 50%.
Das hieße, wir sehen uns alle Menschen an und suchen uns daraus diejenigen raus, die zu A und zu B (also zu A∩B) gehören. Das würde sich schreiben als
P(A∩B) = 50%.
Dass das einen Unterschied macht, kannst Du Dir leicht an Deinem Beispiel mit 100 Personen vorstellen: In Variante a) nutzen 80 den ÖV, davon hat die Hälfte – also 40 – ein Auto. 40 Menschen haben also ein Auto und benutzen den ÖV. In Variante b) haben aber die Hälfte aller, also 50 Menschen ein Auto und benutzen den ÖV.
Wie gross ist die Wsk, dass eine Person
ein Auto besitzt und trotzdem den Arbeitsweg mit den ÖV
zurücklegt?
Hiermit scheidet allerdings Variante b) aus*, denn hier ist ja gefragt, wie viele Personen zur Gruppe A∩B gehören. Dann kann das ja nicht gegeben sein.
Wir haben also P(A)=4/5, P(B|A)=1/2.
Jetzt lösen wir es einmal anschaulich: Wenn von 4/5 die Hälfte ein Auto hat, sind das wohl 2/5 = 40% = 0,4, die trotz Auto den ÖV benutzen. Fertig.
Als nächstes lösen wir es mit einem Baum:
B P(A∩B) = 0,8\*0,5 = 0,4.
/
/0,5
/
A
/ \
0,8/ \0,5
/ \
\ nicht B
0,2\
\
nicht A
– auch schon fertig. Und jetzt noch mit der Formel: P(A∩B) = P(A)*P(B|A) = 0,8*0,5 = 0,4. Auch schon fertig.
Ich glaube, Dein größtes Problem ist die „Übersetzung“ von Alltagssprache in mathematische Formeln – oder bereits das Textverständnis. Wenn’s letzteres ist, hilft nur zu versuchen, alles noch einmal in eigenen Worten auszudrücken. Ersteres muss man einfach nur oft genug üben (und das tut man i. Allg. in der Schule).
Liebe Grüße
Immo
*Es sei denn, Du hast die Frage falsch abgeschrieben und dort steht: Wie groß ist die Wk, dass eine Person , die ein Auto besitzt , und trotzdem den Arbeitsweg mit den ÖV zurücklegt? Das wäre dann die Frage nach P(A|B).
