Ich suche derzeit einen Weg herauszufinden, wie wahrscheinlich es ist, dass ich beim Würfeln mit n Würfeln eine höhere Summe erreiche, als beim Würfeln mit m Würfeln.
Beispiel:
n=2, m=3
wie Wahrscheinlich ist es, dass ich mit 2 Würfeln eine höhere Gesammtsumm erreiche (z.B. 4+5) als mit 3 Würfeln (z.B: 2+1+2).
Hat jemand eine Idee für einen Lösungansatz?
Gerade für große n und m ist das „Abzählen“ der Ergebnisse nicht mehr machbar.
Hallo kplan,
als ertes brauchen wir eine Möglichkeit uns das Abzählen zu sparen, also eine Formel, mit der wir bestimmen können, wie viele Möglichkeiten es gibt mit n Würfeln, welche jeweils r Seiten haben, die Augensumme k zu würfeln. Ich habe mir ziemlich lang den Kopf zerbrochen eine explizite Formel herzuleiten (die klappte aber leider nur für n = 1, 2, 3), dann hab ich aufgegeben und gegooglet, siehe Pascal- und andere Dreiecke. Explizit wird hier zwar auch nichts angegeben, dafür eine ziemlich einfache Rekursionsformel. Der Anfang sieht so aus:
w_r(1, 1) = w_r(1, 2) = \ldots = w_r(1, r) = 1 \text{ und } w_r(1, i) = 0\ \forall i \neq 1, \ldots, r
Alle anderen Elemente berechnen sich durch:
w_r(n, k) = \sum_{i=1}^r w_r(n-1, k-i)
Das ganze funktioniert analog zum Pascalschen Dreieck nur mit r Summanden, siehe Tabelle im Link. Man beachte: die keinste mögliche Zahl erhält man wenn man nur Einsen, die größtmögliche wenn man nur r würfelt, also
k_{min}(n) = n \qquad k_{max}(n) = n \cdot r
Ab hier ist der Rest Standard. Falls irgendwer eine Möglichkeit weiß, die Formel hübsch mit Binomialkoeffizienten zu schreiben, möge er dies bitte ergänzen 
Weil jedes Ergebnis beim Wurf von n Würfeln gleich wahrscheinlich ist, erhalten wir die Wahrscheinlichkeiten, indem wir die durch die rekursive Folge gebenen Werte duch die Anzahl aller möglichen Ergebnisse teilen. Letztere beträgt r^n (bei r=6 gibt es mit einem Würfel 6 mögliche Ergebnisse, bei zwei Würfeln 6 * 6 = 6^2 = 36, etc.), also:
p_r(n, k) = \frac{ w_r(n, k) }{r^n}
Jetzt zum letzten Schritt: wir haben zwei Experimente, eines mit n1 Würfeln mit jewels r1 Seiten, ein anderes mit n2 Würfeln mit jeweils r2 Seiten. Diese beiden Experimente sind stochastisch unabhängig voneinander (Würfel empfinden generell sehr wenig füreinander), darum ist die Wahrscheinlichkeit, dass wir im ersten Experminet die Summe k1 würfeln und im zweiten die Summe k2:
P(k_1, k_2) = p_{r_1}(n_1, k_1) \cdot p_{r_2}(n_2, k_2) = \frac{w_{r_1}(n_1, k_1) \cdot w_{r_2}(n_2, k_2)}{r_1^{n_1} \cdot r_2^{n_2}}
Schlussendlich ist dann die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe k2 größer ist als k1:
P(k_2 > k_1) = \sum_{i = n_1}^{n_1 r_1} \sum_{j = i+1}^{n_2 r_2} p_{r_1}(n_1, i) \cdot p_{r_2}(n_2, j)
Das ganze artet immernoch in Rechenarbeit aus, am besten man überlässt das dem Computer (es sei denn jemand weiß einen hübscheren weg, wie gesagt).
Vielleicht zum Schluss noch ein Beispiel:
wir haben einmal n1 = 3 Würfel mit r1 = 6 Seiten und einmal n2 = 5 Würfel mit r2 = 3 Seiten. Die w sind (nur letzte Zeile wichtig):
1.
k
n 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 1 2 3 4 5 6 5 4 3 2 1 0 0 0 0 0 0
0 0 1 3 6 10 15 21 25 27 27 25 21 15 10 6 3 1
k
n 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 1 2 3 2 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 1 3 6 7 6 3 1 0 0 0 0 0 0
0 0 0 1 4 10 16 19 16 10 4 1 0 0 0
0 0 0 0 1 5 15 30 45 51 45 30 15 5 1
P(k_2 > k_1) = \tfrac{1(1+5+15+\ldots ) + 3(1+5+15+\ldots ) + 6(5+15+\ldots ) +10(15+\ldots ) + \ldots}{6^3 \cdot 3^5} = \frac{20466}{52488} \approx 39%
in 39% der Fälle wird man mit den 5 Würfeln je 3 Seiten (fragt mich nicht wie die aussehen sollen) eine höhere Augensumme würfeln als mit 3 Würfeln je 6 Seiten (die umgekehrte Wahrscheinlichkeit ist exakt p(k1 > k2) = 50%, dass beide Summen gleich sind etwa 11%, zusammen sind wir also bei 100%, so wie es sein soll).
puh… viel Spaß damit
LG
Hallo.
mit den 5 Würfeln je 3 Seiten (fragt
mich nicht wie die aussehen sollen)
Na zumindest das ist doch einfach. Man nehme einen „normalen“ sechsseitigen Würfel und schreibe jeder der Zahlen 1 bis 3 jeweils auf 2 Seiten. 
Sebastian.
Wahnsinn,
vielen Dank quazee! Mit einer so ausführlichen Antwort habe ich überhaupt nicht gerechnet. Ich konnte deine Schritte soweit nachvollziehen und verstehen. Habe es auch gleich in ein Computerprogramm umgesetzt, um die Schritte zu testen. Es läuft sehr schnell durch (sofern man die Ergebnisse zwischenspeichert) und die Ergebnisse sehen richtig aus.
Für Interessierte, hier meine PHP Umsetzung:
<?php /**