Wahrscheinlichkeit Fachstudium und Russisch

Wissenschaft Mathematik
#1

Hallo miteinander

Ich habe folgende Aufgabe und bin überhaupt nicht sicher, ob ich richtig rechne:

Aus insgesamt 100 Studenten studieren 20 Chemie, 40 Biologie und 40 Antropologie. Aus den Chemie Studenten besuchen 60% das Russisch. Aus den anderen Studenten besuchen 30% das Russisch.

A = studiert Chemie
B = besucht das Russisch

Berechnen Sie die folgenden Wahrscheinlichkeiten:
a) P(A)
b) P(B quer)
c) P(B|A)
d) P(B|A quer)
e) P(A quer)
f) P(B)
g) P(A|B)
h) Wahrscheinlichkeit, dass eine® aus den Studenten Chemie studiert oder das Russisch besucht.

Die Aufgaben a, b, c, e und f habe ich versuchsweise ausgrechnet. Könnt Ihr mir vielleicht sagen, ob ihr den Ergebnissen zustimmt und helfen e, f, g, h zu lösen?

a) P(A) = 20/100 = 1/5 = 20%

b) P(B quer): ich habe zuerst P(B) ausgerechnet und dann das Komplement berechnet, wie folgt: P(B) = (1/5)*(6/10)+(4/5)*(3/10) = 9/25. Daher folgt: P(B quer) = 1 - (9/25) = 16/25
c) P(B|A) = P(B∩A) / P(B)
P(B∩A) --> P(A) = 20 Chemie Stunden
–> P(B) = 10 Chemie Studenten, 12 Biologie Studenten, 12 Antropologie Studenten
–> P(B∩A) = 10 Chemie Studenten = 1/10
–> P(B) = 9/25
P(B|A) = P(B∩A) / P(B) = 5/18

e) P(A quer) = 1 - P(A) = 1 - (1/5) = 4/5

f) P(B) = 9/25 (folgt aus b)

Ich bin nicht mal sicher, ob die Wahrscheinlichkeiten A und B abhängig oder unabhängig sind. Aus dem Bauch heraus würde ich sagen, sie sind abhängig.

Könnt Ihr mir bitte sage, ob meine Rechnungen bisher stimmen und mir zeigen (oder Tipps geben), wie die anderen Aufgaben zu lösen sind?

Vielen Dank!

#2

Hi,

mir hat das immer geholfen, eine 4-Feldertafel (hier allerdings eine 6-Feldertafel) zu machen und mit den Infos zu füllen, die man hat. Voraussetzung - aber das würde ich hier annehmen - ist, dass A und B unabhängig sind.

In Kürze: a) b) e) & f) sind richtig. bei c) ist

–> P(B) = 10 Chemie Studenten, 12 Biologie Studenten, 12
Antropologie Studenten

falsch, chau dir noch mal die anzahl der Chemie-Studenten an.

Desweiteren:

d) P(B|A quer)
g) P(A|B)

Die Rechnung läuft ganauso ab wie für c) du musst nur beachten, dass B∩A genau ein Feld der oben beschriebenen Tafel beschreibt.

h) Wahrscheinlichkeit, dass eine® aus den Studenten Chemie
studiert oder das Russisch besucht.

Dies ist eine ODER-Verknüpfung. Gesucht ist also P(A oder B), also P(A)+P(B)-P(B∩A) {weil man sonst ein Feld doppelt zählen würde}.

Grüße,
JPL

#3

Hallo,

In Kürze: a) b) e) & f) sind richtig.

ja.

bei c) ist

–> P(B) = 10 Chemie Studenten, 12 Biologie Studenten, 12
Antropologie Studenten

falsch, chau dir noch mal die anzahl der Chemie-Studenten an.

Hmmm… ich würde ja sagen, die Lösung von Teil c) erschöpft sich darin, einfach „P(B|A) = 0.6“ hinzuschreiben. Das repräsentiert die in der Aufgabenstellung enthaltene Information „Aus den Chemiestudenten besuchen 60% das Russisch.“ Die Angabe der Anzahlen der Biologie- und Anthropologie-Studenten ist reine Augenwischerei – sie werden an keiner Stelle benötigt.

Dies ist eine ODER-Verknüpfung. Gesucht ist also P(A oder B),
also P(A)+P(B)-P(B∩A) {weil man sonst ein Feld doppelt zählen würde}.

Korrekt.

Gruß
Martin

#4

Hallo JPL

mir hat das immer geholfen, eine 4-Feldertafel (hier
allerdings eine 6-Feldertafel) zu machen und mit den Infos zu
füllen, die man hat. Voraussetzung - aber das würde ich hier
annehmen - ist, dass A und B unabhängig sind.

Ich habe noch nie davon gehört, aber werde mal danach Googlen. Vielleicht hilft es mir ja auch. Danke für den Tipp.

In Kürze: a) b) e) & f) sind richtig

Vielen Dank fürs Nachprüfen.

Desweiteren:

d) P(B|A quer)
g) P(A|B)

Die Rechnung läuft ganauso ab wie für c) du musst nur
beachten, dass B∩A genau ein Feld der oben beschriebenen Tafel
beschreibt.

Ich habe das Mal ausgerechnet. Siehe weiter unten. Danke für den Tipp.

h) Wahrscheinlichkeit, dass eine® aus den Studenten Chemie
studiert oder das Russisch besucht.

Dies ist eine ODER-Verknüpfung. Gesucht ist also P(A oder B),
also P(A)+P(B)-P(B∩A) {weil man sonst ein Feld doppelt zählen
würde}.

Hier habe ich P(A)+P(B) gerechnet und dachte noch, da stimmt was nicht. Ich habe nicht an -P(B∩A) gedacht. Vielen Dank für den Tipp. Mittlerweile bin ich bei folgenden Lösungen:

a) siehe oben (richtig)

b) siehe oben (richtig)

c) P(B|A) = P(B∩A) / P(A)
P(B∩A):
–> P(A) = 20 Chemie Stunden = 1/5
–> P(B) = 12 Chemie Studenten (60% von 20), 12 Biologie Studenten, 12 Antropologie Studenten = 36/100 = 9/25
–> P(B∩A) = 12 Chemie Studenten = 12/100 = 3/25
–> P(B) = 9/25
P(B|A) = P(B∩A) / P(B) = (3/25)/(9/25) = 1/3

d) P(B|A quer) = P(B∩A quer) / P(A quer)
P(B∩A quer):
–> P(A quer) = 80/100 = 4/5 --> 40 Biologie, 40 Antropologie
–> P(B) = 12 Chemie Studenten, 12 Biologie Studenten, 12 Antropologie Studenten = 36/100 = 9/25
–> P(B∩A quer) = 24/100 (12 Bio. + 12 Antro.) = 6/25
–> P(B) = 9/25
P(B|A quer) = P(B∩A quer) / P(A quer) = (6/25)/(9/25) = 2/3

e) siehe oben (richtig)

f) siehe oben (richtig)

g) P(A|B) = P(A∩B) / P(B)
P(A∩B):
–> P(A) = 20/100 = 1/5
–> P(B) = 12 Chemie Studenten, 12 Biologie Studenten, 12 Antropologie Studenten = 36/100 = 9/25
–> P(A∩B) = 12/100 (12 Chemie) = 3/25
–> P(B) = 9/25
P(A|B) = P(A∩B) / P(B) = (3/25)/(9/25) = 1/3

h) P(A)+P(B)-P(B∩A)
–> P(A) = 20/100 = 1/5
–> P(B) = 9/25 (siehe obige Lösungswege)
–> P(B∩A) = 3/25 (siehe obige Lösungswege)
P(A)+P(B)-P(B∩A) = (1/5)+(9/25)-(3/25)= 11/25

So, ich hoffe, die Berechnungen stimmen. Kann das bitte jemand prüfen? Vielleicht wieder JPL? :smile:

Vielen Dank für die Hilfe!

#5

Hi Martin,

Hmmm… ich würde ja sagen, die Lösung von Teil c) erschöpft
sich darin, einfach „P(B|A) = 0.6“ hinzuschreiben. Das
repräsentiert die in der Aufgabenstellung enthaltene
Information „Aus den Chemiestudenten besuchen 60% das
Russisch.“ Die Angabe der Anzahlen der Biologie- und
Anthropologie-Studenten ist reine Augenwischerei – sie werden
an keiner Stelle benötigt.

Das ist zwar richtig, aber ich würde doch empfehlen den rechenweg zu nehmen, da i.a. bedingte W’keiten schwer erfassbar sind.
Viele Grüße,
JPL

#6

Hi,

Ich habe noch nie davon gehört, aber werde mal danach Googlen.

Was?!

c) P(B|A) = P(B∩A) / P(A)
P(B∩A):
–> P(A) = 20 Chemie Stunden = 1/5
–> P(B) = 12 Chemie Studenten (60% von 20), 12 Biologie
Studenten, 12 Antropologie Studenten = 36/100 = 9/25
–> P(B∩A) = 12 Chemie Studenten = 12/100 = 3/25
–> P(B) = 9/25
P(B|A) = P(B∩A) / P(B) = (3/25)/(9/25) = 1/3

Fast. Oben schreibst du es noch richtig hin, unten rechnest du dann aber falsch …

d) P(B|A quer) = P(B∩A quer) / P(A quer)
P(B∩A quer):
–> P(A quer) = 80/100 = 4/5 --> 40 Biologie, 40 Antropologie
–> P(B) = 12 Chemie Studenten, 12 Biologie Studenten, 12
Antropologie Studenten = 36/100 = 9/25
–> P(B∩A quer) = 24/100 (12 Bio. + 12 Antro.) = 6/25
–> P(B) = 9/25
P(B|A quer) = P(B∩A quer) / P(A quer) = (6/25)/(9/25) = 2/3

derselbe Fejler wie oben :smile: du schreibst das richtige hin, verwendest aber den falschen Wert…

g) P(A|B) = P(A∩B) / P(B)
P(A∩B):
–> P(A) = 20/100 = 1/5
–> P(B) = 12 Chemie Studenten, 12 Biologie Studenten, 12
Antropologie Studenten = 36/100 = 9/25
–> P(A∩B) = 12/100 (12 Chemie) = 3/25
–> P(B) = 9/25
P(A|B) = P(A∩B) / P(B) = (3/25)/(9/25) = 1/3

hier stimmt’s

h) P(A)+P(B)-P(B∩A)
–> P(A) = 20/100 = 1/5
–> P(B) = 9/25 (siehe obige Lösungswege)
–> P(B∩A) = 3/25 (siehe obige Lösungswege)
P(A)+P(B)-P(B∩A) = (1/5)+(9/25)-(3/25)= 11/25

passt!

#7

Hallo JPL,

Das ist zwar richtig, aber ich würde doch empfehlen den rechenweg
zu nehmen, da i.a. bedingte W’keiten schwer erfassbar sind.

das ist nicht Dein Ernst? Analysier doch mal genau, was Holger macht:

Er will die Frage nach p(B|A) beantworten, und glaubt (irrtümlich), die Gleichung p(B|A) = p(B∩A) / p(A) könne ihm dabei helfen. Die ist auch richtig, nur rechnet Holger ohne es zu merken p(B∩A) wiederum über ebendiese Gleichung aus. Er schreibt

„P(B∩A) = 12 Chemie Studenten = 12/100 = 3/25“

und davor

„12 Chemie Studenten (60% von 20)“

und das bedeutet nicht anderes als

P(B∩A) = p(B|A) · p(A) = 0.6 · 0.2 = 0.12

Holger multipliziert den von vornherein bekannten p(B|A)-Wert von 0.6 mit p(A), um das Ergebnis P(B∩A) anschließend wieder durch p(A) zu dividieren. Hätte er verstanden, welche Information in der Aufgabe eigentlich gegeben wird, nämlich p(A), p(B|A) und p(B|\bar{A}), hätte er die Gleichung dazu verwenden können, wozu sie tatsächlich gebraucht wird, nämlich um P(A∩B) auszurechnen.

Ich würde das Ding so lösen:

(a)\quad p(A) = 0.2
(direkt aus der Aufgabenstellung)

©\quad p(B|A) = 0.6
(direkt aus der Aufgabenstellung)

(d)\quad p(B|\bar{A}) = 0.3
(direkt aus der Aufgabenstellung)

(e)\quad p(\bar{A}) = 1 - p(A) = 0.8

(i)\quad p(A \cap B) = p(A):stuck_out_tongue:(B|A) = 0.12

(j)\quad p(\bar{A} \cap B) = p(\bar{A}):stuck_out_tongue:(B|\bar{A}) = 0.24

(f)\quad p(B) = p(A \cap B) + p(\bar{A} \cap B) = 0.36

(b)\quad p(\bar{B}) = 1 - p(B) = 0.64

(g)\quad p(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{p(B)} = \frac{1}{3}

(h)\quad p(A \cup B) = p(A) + p(B) - p(A \cap B) = 0.44

Nur so als Vorschlag und Anregung…

Gruß
Martin

#8

Hi Martin,

viele Wege führen nach Rom.

das ist nicht Dein Ernst? Analysier doch mal genau, was Holger
macht:

Er will die Frage nach p(B|A) beantworten, und glaubt
(irrtümlich), die Gleichung p(B|A) = p(B∩A) / p(A) könne ihm
dabei helfen. Die ist auch richtig, nur rechnet Holger ohne es
zu merken p(B∩A) wiederum über ebendiese Gleichung aus. Er
schreibt…

Kommt drauf an, was man als erstes macht und wierum man anfängt.
Man kann auch erstmal aus den Randwahrscheinlichkeiten alle schnittmengen berechnen und daraus dann alles weitere. Ist Jacke wie Hose. Das Problem ist mE nur, dass man eben P(X|Y) oft aus einem Text nicht klar extrahieren kann. Deswegen ist dieser (für dich vllt umständlichere) Weg sicherer und ebenso richtig.

Grüße,
JPL