Wahrscheinlichkeit, min 1x 5 zu würfeln?

Wissenschaft Mathematik
#1

Die Aufgabe lautet: Das Spiel ,Pentagramm’’ wird mit 3 Würfeln
gespielt. Fällt eine 5, sp erhält der Spieler 5€, bei 2 Fünfen 9€ und
bei 3 Fünfen 30€. Berechnen Sie den EInsatz des Spieler, damit das
Spiel fair wird.

Ich hab einfach komplett keine Ahnung von Stochastik, mir ist klar, dass ich die Wahrscheinlichkeit für min. 1x5, 2x5 und 3x5 ausrechnen muss, weiß nur nicht, wie. Danach müsste ich den Mittelwert ausrechnen und das Ergebnis dann in die Formel 0=(5-x)^2*Wahrscheinlichkeit für 1x5+(9-x)^2*Wahrscheinlichkeit 2x5+(30-x)^2*Wahrscheinlichkeit 3x5 einsetzen, richtig?

#2

Hi,

ich schlage vor, due fängst erstmal mit einem Würfel an um mehr Gefühl für die Sache zu bekommen.

  1. Der Würfel ist fair? Was bedeutet das für P(X=5) wenn X die Zufallsvariable „1x würfeln mit einem W6“ ist?
  2. Einsatz ist x (zu bestimmen), der Gewinn ist 5€ falls X=5 und der Verlust (y€) ist - wie hoch? (hast du leider nicht angegeben)
  3. Das Spiel ist fair, wenn welche Bedingung erfüllt ist?
    Wohl diese: y*P(X5) + x*P(X=5) = 0.

Das kann man dann auf 2 W6 udn so weiter ausweiten.

Grüße,
JPL

#3

Hallo.

Die Aufgabe lautet: Das Spiel ,Pentagramm’’ wird mit 3
Würfeln
gespielt. Fällt eine 5, sp erhält der Spieler 5€, bei 2 Fünfen
9€ und
bei 3 Fünfen 30€. Berechnen Sie den EInsatz des Spieler, damit
das
Spiel fair wird.

Das Spiel ist fair, wenn der erwartete Erlös genau bei 0€ liegt.
Der Erlös ist (Gewinn - Einsatz).

Welche Möglichkeiten für den Erlös gibt es nun? (Einsatz = x)

keine Fünf: -x
eine Fünf: 5-x
zwei Fünfen: 9-x
drei Fünfen: 30-x

Diese möglichen Erlöse gewichtet mit der Wahrscheinlichkeit ihres Eintritts müssen nun addiert werden.

klar, dass ich die Wahrscheinlichkeit für min. 1x5, 2x5 und
3x5 ausrechnen muss, weiß nur nicht, wie.

Nein, man braucht die Wahrscheinlichkeiten für genau 1x5, 2x5 und 3x5.
Sonst würde man den Fall 3x5 ja mehrfach mit berücksichtigen (3x5 ist ja auch mindestens 1x5).

Die Wahrscheinlichkeiten:
3x5: Jeder Würfel muss eine 5 zeigen, die Chance eine 5 zu würfeln ist 1/6. Es gilt also p(3x5) = 1/6*1/6*1/6 = 1/216
2x5: Zwei Würfel müssen eine 5 zeigen, einer etwas anderes (Wahrsch 5/6). Es gibt 3 Möglichkeiten, welcher Würfel keine 5 zeigt. Daher: p(2x5) = 3*1/6*1/6*5/6 = 15/216
1x5: Ein Würfel zeigt eine 5, 2 andere etwas anderes. Es gibt 3 Möglichkeiten, welcher Würfel die 5 zeigt: p(1x5) = 3*1/6*5/6*5/6=75/216
0x5: Alle drei Würfel zeigen keine 5: p(0x5) = 5/6*5/6*5/6 = 125/216

Probe: Die 4 Wahrscheinlichkeiten müssen sich zu 1 addieren, da alle möglichen fälle genau abgedeckt sind:
1/216 + 15/216 + 75/216 + 125/216 = 216/216 = 1.
passt also.

Nun die gewichtete Summe der Erlöse:
1/216 * (30-x) + 15/216 * (9-x) + 75/216 * (5-x) + 125/216 * (-x)
= 1/216 * (30 + 15*9 + 75*5) - x
= 540/216 - x
= 5/2 - x

Diese Summe muss für ein faires Spiel 0 sein. Das ist offensichtlich bei x=5/2 der Fall. Der Einsatz sollte also 2,50€ betragen.

Sebastian.