ich bekommen am nächsten Wochenende 100 Gäste, die alle Bier trinken wollen. Jetzt überlege ich, wieviel Flaschen ich kaufen soll.
Die Bierverteilung geht nämlich so: Ich werfe eine Flasche in die Runde, und irgendeiner fängt sie. Völlig zufällig wer, und egal ob er schon eine oder mehrere hat. Dann die nächste, usw. Und die Frage ist - wieviele Flaschen muss ich kaufen, damit mit einer 95%-igen Sicherheit jeder mindestens eine bekommt?
Mein Ansatz: Ich berechne die Gegenwahrscheinlichkeit - die Wahrscheinlichkeit, dass einer leer ausgeht, soll 5% sein.
Also: Ich greife mir einen beliebigen heraus. Die Wahrscheinlichkeit, dass er die erste Flasche fängt, ist 1/100. Die Wahrscheinlichkeit, dass er nach dem ersten Wurf nichts hat, ist 1 - 1/100 = 0,99. Nach dem zweiten Wurf ist sie 0,99*0,99, nach dem dritten Wurf 0,993 usw. Wenn ich n Flaschen habe, also 0,99n. Und das soll nun 5% sein, also
0,99n = 0,05. Das gibt n = 298. Kann das denn sein oder stimmt die Rechnung nicht? Muss ich wirklich 300 Flaschen holen um einigermaßen sicher zu sein, dass jeder was abbekommt?
Danke fürs Nachdenken und einen schönen Sonntag.
Olaf
Mein Ansatz: Ich berechne die Gegenwahrscheinlichkeit - die
Wahrscheinlichkeit, dass einer leer ausgeht, soll 5% sein.
Vorsicht: das Gegenereignis zu „jeder bekommt mindestens eine Flasche“ ist „mindestens einer bekommt keine Flasche“, aber nicht „genau einer bekommt keine Flasche“.
Also: Ich greife mir einen beliebigen heraus. Die
Wahrscheinlichkeit, dass er die erste Flasche fängt, ist
1/100. Die Wahrscheinlichkeit, dass er nach dem ersten Wurf
nichts hat, ist 1 - 1/100 = 0,99. Nach dem zweiten Wurf ist
sie 0,99*0,99, nach dem dritten Wurf 0,993 usw.
Wenn ich n Flaschen habe, also 0,99n.
Das ist die Wahrscheinlichkeit dafuer, dass ein bestimmter Gast, nennen wir ihn Anton, leer ausgegangen ist. Von den anderen Gaesten wissen wir nur, dass die 99 Leute sich 100 Flaschen teilen. Vielleicht haben mehrere von ihnen auch nichts bekommen.
Zum Gegenereignis zaehlt aber auch der Fall, dass Anton Bier bekommen hat und Bernd nicht. Ebenso Claus und Dieter usw. Wir duerfen jetzt aber nicht einfach Dein Ergebnis von oben mit 100 multiplizieren, weil dann die Ereignisse, bei denen mehrere Leute leer ausgehen, mehrfach gezaehlt wuerden.
Kann das denn sein oder stimmt die Rechnung nicht?
Meines Erachtens stimmt Deine Rechnung nicht. Die korrekte Rechnung sehe ich aber heute Nacht auch nicht.
Wieviel einzelne Ziehungen (k) von n verschiedenen Kugeln müssen getätigt werden, dass mit einer Wahrscheinlichkeit P jede Kugel mindestens einmal gezogen wird, wenn die jeweils gezogenen Kugeln wieder zurückgelegt werden?
Die Formel dazu lautet:
k = \frac{ \ln(1- \sqrt[n]{ P }) }{\ln( \frac{n-1}{n} )}
Wobei k auf die nächste höhere ganze Zahl zu runden ist.
Bei Deiner Frage ist n = 100 und P = 0,95.
Wenn Du entsprechend einsetzt, dann ergibt sich für k = 753,768.
Du brauchst also mindestens 754 Bierflaschen, damit alle Deine Gäste mit einer Wahrscheinlichkeit von 95% eine Flasche bekommen.
PS.
Da werden bestimmt schon einige Gäste untern Tisch liegen, bevor die letzten eine Flasche ergattern. Dadurch wird die Zahl der nötigen Bierflaschen realistisch kleiner ausfallen.
Hier ist eine Seite, die einen Rechner für genau diese Problemstellung hat. http://www.tutututututu.de/ueei.html
Das Problem ist nämlich das gleiche (etwas vereinfacht) wie das mit den Überaschungseiern.
Bei dem Rechner gibst Du folgendes ein:
Anzahl der Ü-Eier : 754
Seriengröße: 100
Gesuchte Figuren: 100
In jedem 1 Ei befindet sich eine Figur.
und als Ergebnis erhältst Du 95%.
danke, das hat mir geholfen. Ich weiß jetzt, wo mein Denkfehler ist. Der Namenlose hat recht, das mit der Gegenwahrscheinlichkeit war nicht richtig.
Ich habe dann die Formel von radiolaria nach P umgestellt und versucht, das ganze zu verstehen.
Der Anfang meiner Berechnung war ja noch richtig, bis hierher (ich lasse mal n weiterhin die Anzahl der Flaschen sein):
Die Wahrscheinlichkeit, dass einer leer ausgeht, ist 0,99n.
Aber jetzt muss es anders weitergehen. Die Wahrscheinlichkeit, dass der eine was abbekommt, ist 1 - 0,99n. Naja, und die Wahrscheinlichkeit, dass das bei jedem so ist, ist dann (1 - 0,99n)100. Das ist letztlich die Formel von radiolaria.
Trotzdem habe ich noch leise Zweifel. Mir kommt das Ergebnis (754) viel zu groß vor. Na OK, man kann sich bei sowas täuschen.
Und jetzt nehme ich mal an, ich kaufe nur 99 Flaschen. Als Wahrscheinlichkeit, dass da jeder was abbekommt, müsste wohl ne glatte Null rauskommen.
Es ist aber (1 - 0,9999)100 = 10-20.
OK, praktisch gleich Null, aber ist das jetzt ein Rundungsfehler?
Die Formel ist nur eine Annäherungsformel und nur für hohe Wahrscheinlichkeit exakt.
Hättest Du andersrum gefragt, also:
Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, daß bei k Bierflaschen jeder Gast mindestens eine Flasche fängt, wäre die Lösung folgende:
P = \sum_{i=0}^{100}~(-1)^i {{100} \choose i} \left( \frac{100-i}{100} \right)^{k}
Das läßt sich nicht so ohne Weiteres nach k auflösen. Deshalb habe ich eine Näherungsformel genommen, die ab einer Wahrscheinlichkeit von 0,5 sehr gute Werte liefert und dann umgestellt nach k.
nun verstehe ich es wieder nicht mehr…
Ich dachte meine Herleitung ist OK, weil ja auch dasselbe rauskommt wie bei Deiner (Näherungs-)formel.
Aber Deine neue (exakte) Gleichung kann ich gar nicht mehr nachvollziehen. Kannst Du das bitte näher erklären oder wenigstens mal sagen, wie das eigentlich heisst bzw. wonach man googeln kann? Vor allem dieser alternierende Term da vorn ist mir suspekt.
Da habe ich gute Ansätze und eine korrekte Lösung gefunden.
Dein Ansatz kommt der Lösung deswegen sehr nahe, weil bei größeren Wahrscheinlichkeiten die unberücksichtigten Fälle immer mehr in den Hintergrund verschwinden. Deswegen auch die Näherungsformel, die sich eben auch nach k auflösen läßt.
Tip für dein Verständnis:
Mach die Sache erst mal einfacher und stell die Frage:
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, daß nach 14 Würfen eines Würfels jede Zahl von 1 bis 6 mindestens einmal erscheint?
Das ist genau die gleiche Problemstellung, aber Du kannst Dir ein Schaubild dazu machen, weil es übersichtlicher ist.
Anschließend verakllgemeinerst Du das Resultat und wendest das auf Deine Feier an.
Übrigens reichen deutlich weniger Flaschen. Wenn Du nur zügig genug wirfst, dann sind Gäste, die bereits eine Flasche in der Hand halten oder daran trinken kaum in der Lage eine weitere zu fangen.
Und wenn die guten Fänger erst mal etliches Bier intus haben, liegen die doch unterm Tisch.
OK, ich glaube, ich habs jetzt verstanden. Siebformel - daher kommt das alternierende Glied. Bei meiner Formel habe ich halt nicht den Fall berücksichtigt, dass mehrere Leute leer ausgehen könnten. Das ist unwahrscheinlich, aber eben doch nicht exakt.
Dass das so kompliziert ist, hätte ich gar nicht vermutet. Aber ich habe wieder was gelernt. Falls sich noch jemand dafür interessiert - das Ganze ist als „Coupon Collection Problem“ bekannt.