Es regnet schwach und gleichmäßig, und zwar so, dass durchschnittlich pro Minute ein Tropfen auf ein ausgebreitetes Tuch fällt. Die Tropfen fallen rein zufällig.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass von einem beliebigen Startzeitpunkt nach genau einer Minute 1 oder 3 oder 5 oder 7 oder 9 usw., also eine ungerade Anzahl von Tropfen auf’s Tuch gefallen ist?
Ludwig
Hallo Ludwig.
Die Wahrscheinlichkeit fuer t Tropfen betraegt nach meinem Dafuerhalten
P(t) = 0.5^t, also
Tropfen Wahrscheinlichkeit
0 50,00%
1 25,00%
2 12,50%
3 6,25%
4 3,13%
5 1,56%
6 0,78%
7 0.39%
8 0.20%
9 0.10%
10 0.05%
11 0.02%
13 0.01%
Damit betraegt die Wahrscheinlichkeit fuer eine ungerade Anzahl 1/3 oder 33,33%.
Gruss,
Klaus
Hallo Ludwig.
Die Wahrscheinlichkeit fuer t Tropfen betraegt nach meinem
Dafuerhalten
P(t) = 0.5^t, alsoTropfen Wahrscheinlichkeit
0 50,00%
1 25,00%
2 12,50%
3 6,25%
4 3,13%
5 1,56%
6 0,78%
7 0.39%
8 0.20%
9 0.10%
10 0.05%
11 0.02%
13 0.01%
Bist Du sicher Klaus, dass z.B. die Wahrscheinlichkeit für 0 Tropfen 50% ist?
Da habe ich Zweifel - und so auch am Ergebnis.
Ludwig
Wenn die wahrscheinlichkeit 0.5^t wäre, wär sie ja für 0 tropfen gleich 1…
Ansonsten könnte es aber durchaus sein, oder nicht?
[Bei dieser Antwort wurde das Vollzitat nachträglich automatisiert entfernt]
Moin,
Es regnet schwach und gleichmäßig, und zwar so, dass
durchschnittlich pro Minute ein Tropfen auf ein ausgebreitetes
Tuch fällt. Die Tropfen fallen rein zufällig.
es kommt ein wenig darauf an, was „rein zufällig“ ist. Eine vernünftige Annahme wäre in diesem Fall vermutlich die Poisson-Verteilung für die Tropfenzahl pro Minute heranzuziehen (siehe bspw. http://de.wikipedia.org/wiki/Poissonverteilung )
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass von einem beliebigen
Startzeitpunkt nach genau einer Minute 1 oder 3 oder 5 oder 7
oder 9 usw., also eine ungerade Anzahl von Tropfen auf’s Tuch
gefallen ist?
Unter obiger Prämisse folgt daraus (Mittelwert λ = 1):
p(x=1,2,3,…) = 1/e * Σk=1,3,5,… 1/k!
= 1/e * Σ k=0oo 1/(2k+1)!
= 1/e * (1+1/6+1/120+1/5040+…)
= ca. 0.5
Vielleicht läßt sich die Reihe noch analytisch besser fassen und sich ggf. mein Ergebnis exakt verifizieren.
Gruß,
Ingo
Unter obiger Prämisse folgt daraus (Mittelwert λ = 1):
p(x=1,2,3,…) = 1/e * Σk=1,3,5,… 1/k!
= 1/e * Σ k=0oo 1/(2k+1)!
= 1/e * (1+1/6+1/120+1/5040+…)
= ca. 0.5Vielleicht läßt sich die Reihe noch analytisch besser fassen
und sich ggf. mein Ergebnis exakt verifizieren.
Ich bekomme 0.43233235838169365405300025251376 heraus
Gruß, Mani
Moin,
Ich bekomme 0.43233235838169365405300025251376 heraus
Ausgeschlafen ich auch.
Gruß,
Ingo
Moin,
Ich bekomme 0.43233235838169365405300025251376 heraus
Ausgeschlafen ich auch.
Die eigentliche Rechnung Du auch in 5 bis 10 Sekunden?
Gruß, Mani (
)
Hallo,
wozu so komplizierte Rechnungen? Der Anteil der ungeraden Zahlen an den Ganzen Zahlen ist 50%, also ist das auch die Wahrscheinlichkeit für eine ungerade Tropfenzahl. Falls das immer noch zu kompliziert ist: jede 2. Zahl ist ungerade!
Gruss Reinhard
[Bei dieser Antwort wurde das Vollzitat nachträglich automatisiert entfernt]
wozu so komplizierte Rechnungen? Der Anteil der ungeraden
Zahlen an den Ganzen Zahlen ist 50%, also ist das auch die
Wahrscheinlichkeit für eine ungerade Tropfenzahl. Falls das
immer noch zu kompliziert ist: jede 2. Zahl ist ungerade!
Nein, genau 50% wäre es, wenn man lange warten würde. Nach
zwei Minuten wäre die Wahrscheinlichkeit für ungerade Tropfenzahl
49,084218055563290985314098936338%
nach fünf Minuten wäre es
49,997730003511875757423220424222%
Gruß, Mani
Hallo Mani,
das ist mir schon klar, wenn man es so genau nimmt - mich hat es nur sehr gewundert, dass jemand hier 33% rausbringt und sich überhaupt nicht fragt, ob das sein kann. Exakt: eine Folge, die gegen 0.5 konvergiert, und zwar recht schnell.
Aber ich gehöre ja auch zu den Dinosauriern, die jede Berechnung durch Überschlagsrechnung absichern, heute wundert sich niemand mehr, wenn der Taschenrechner 2 x 2 = 5 liefert.
Gruss Reinhard
[Bei dieser Antwort wurde das Vollzitat nachträglich automatisiert entfernt]
Ueberschlag und Dinosaurier
Hallo Reinhard.
das ist mir schon klar, wenn man es so genau nimmt - mich hat
es nur sehr gewundert, dass jemand hier 33% rausbringt und
sich überhaupt nicht fragt, ob das sein kann. Exakt: eine
Folge, die gegen 0.5 konvergiert, und zwar recht schnell.
Diese Bemerkung richtet sich wohl gegen mich? Meines Erachtens bekommen wir unterschiedliche Ergebnisse heraus, weil wir die Statistik des Regens unterschiedlich auffassen. Lasse uns einmal annehmen, dass es auf einer begrenzten Flaeche von vier Tuechern regnet. Und zwar soll es gleichmaessig regnen in dem Sinne, dass jede Minute vier Tropfen vom Himmel fallen. Diese Tropfen verteilen sich nun beliebig, naemlich zufaellig, ueber die vier Tuecher. Diese vier Tropfen koennen sich auf unterschiedliche Weise ueber die Tuecher verteilen; durch Auszaehlen findet man 35 unterschiedliche Kombinationen. Greift man nun ein Tuch heraus, so findet man unter den 35 Moeglichkeiten eine mit vier Tropfen auf diesem Tuch, drei mit drei Tropfen, sechs mit zwei Tropfen, zehn mit einem Tropfen und fuenfzehn ohne Tropfen. Offenbar betraegt die Wahrscheinlichkeit fuer die einzelnen Ereignisse in diesem Fall:
Anzahl der Wahrschein-
Tropfen lichkeit
0 42,9%
1 28,6%
2 17,1%
3 8,6%
4 2,9%
Zaehlt man die Wahrscheinlichkeiten fuer eine ungerade Anzahl von Tropfen, hier also eins und drei, zusammen, so ergibt sich 37,2%. Fuehrt man diese Ueberlegung nun mit sehr vielen statt nur vier Tuechern durch und laesst zuletzt diese Anzahl gegen unendlich gehen, so kommen die von mir neulich geposteten Zahlen heraus.
Diese Zahlen sind in sich uebrigens konsistent insofern, als dass die Summe aller Wahrscheinlichkeiten Eins ergibt. Ich finde 1/3 fuer eine ungerade Anzahl und 2/3 fuer ein gerade Anzahl.
Gruss,
Klaus
noch eine Anmerkung zur Wahrscheinlichkeit
Moin,
Es regnet schwach und gleichmäßig, und zwar so, dass
durchschnittlich pro Minute ein Tropfen auf ein ausgebreitetes
Tuch fällt. Die Tropfen fallen rein zufällig.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass von einem beliebigen
Startzeitpunkt nach genau einer Minute 1 oder 3 oder 5 oder 7
oder 9 usw., also eine ungerade Anzahl von Tropfen auf’s Tuch
gefallen ist?
unabhängig davon, was ander - und auch ich - in diesem Thread schrieben gilt, daß sich eine Wahrscheinlichkeitsverteilung nicht vollständig durch ihren Mittelwert beschreiben läßt. Und im Prinzip hast Du uns hier nur den Mittelwert (1/Minute) gegeben, über die Wahrscheinlichkeiten der anderen Tropfenanzahlen pro Minute weiß man nichts.
Deine Frage ist also auch nicht eindeutig beantwortbar, sondern nur mit einer Zusatzannahme - derjenigen, WIE ZUFÄLLIG (Gauß’sch, Poisson’sch,…) Deine Tropfen fallen.
Gruß,
Ingo
Hallo Klaus,
Diese Bemerkung richtet sich wohl gegen mich? Meines Erachtens
bekommen wir unterschiedliche Ergebnisse heraus, weil wir die
Statistik des Regens unterschiedlich auffassen. Lasse uns
einmal annehmen, dass es auf einer begrenzten Flaeche von vier
Tuechern regnet. Und zwar soll es gleichmaessig regnen in dem
Sinne, dass jede Minute vier Tropfen vom Himmel fallen.
Nein, Klaus, so glaube ich, lässt sich „rein zufällig“ - so wie ich es verstehe -
nicht definieren, sondern so:
Es regnet gleichmäßig, und zwar so, dass für sehr lange Zeit, also in
z.B. 100.000 Minuten ca. 100.000 Tropfen auf’s Tuch fallen würden.
Du dagegen gehst davon aus, dass pro (auch kurze) Zeiteinheit die
Anzahl der gefallenen Tropfen auf die vier Tücher immer gleich ist.
Und das ist etwas anderes! Oder habe ich Dich falsch verstanden?
Gruß, Mani
Hallo Mani.
Nein, Klaus, so glaube ich, lässt sich „rein zufällig“ - so
wie ich es verstehe -
nicht definieren, sondern so:
Es regnet gleichmäßig, und zwar so, dass für sehr lange Zeit,
also in
z.B. 100.000 Minuten ca. 100.000 Tropfen auf’s Tuch fallen
würden.
Deiner „Definition“ stimme ich sofort zu; der Erwartungswert liegt bei einem Tropfen pro Minute. Aber damit bleibt unklar, wie die statistische Verteilung der Tropfen ist. Zum Beispiel koennten ja auch alle zwei Minuten zwei Tropfen auf das Tuch fallen. Dann werden in 100.000 Minuten auch 100.000 Tropfen landen, aber niemnals eine ungerade Anzahl. In dem von mir vorgestellten Modell liegt der Erwartungswert uebrigens auch bei einem Tropfen pro Minute. Das gleiche gilt auch fuer die Rechnung derjenigen, die eine Poissonverteilung oder Gaussverteilung der Tropfen ansetzen. Letzlich kann uns nur der Fragesteller erklaeren, wie er sich „statistisch gleichmaessigen Regen“ vorstellt.
Gruss,
Klaus
Hallo Klaus
Deiner „Definition“ stimme ich sofort zu; der Erwartungswert
liegt bei einem Tropfen pro Minute. Aber damit bleibt unklar,
wie die statistische Verteilung der Tropfen ist. Zum Beispiel
koennten ja auch alle zwei Minuten zwei Tropfen auf das Tuch
fallen.
Aber das ist doch für „rein zufällig“ kein Unterschied zu
ein Tropfen pro eine Minute.
Dann werden in 100.000 Minuten auch 100.000 Tropfen
landen, aber niemnals eine ungerade Anzahl.
Das aber ist nun ganz klar nicht mehr „rein zufällig“. Denn kaum
werden immer zwei Tropfen „rein zufällig“ gleichzeitig fallen.
Das gleiche gilt auch fuer die
Rechnung derjenigen, die eine Poissonverteilung…
Ich meine, diese gilt hier.
Letzlich kann uns nur
der Fragesteller erklaeren, wie er sich „statistisch
gleichmaessigen Regen“ vorstellt.
Eben „rein zufällig“, und da meine ich, das ist eindeutig.
Gruß, Mani
Deine Frage ist also auch nicht eindeutig beantwortbar,
sondern nur mit einer Zusatzannahme - derjenigen, WIE ZUFÄLLIG
(Gauß’sch, Poisson’sch,…) Deine Tropfen fallen.
Wie kann eine Wahrscheinlichkeit „rein zufällig“ - also z.B. jeder
Tropfen fällt unabhängig von den anderen - , aber nicht Poisson sein?
Gruß, Mani