Wahrscheinlichkeit stimmen meine Lösungswege?

Bruno_dcce15 · 23. Oktober 2009 um 19:17

Hallo zusammen
Wäre froh ihr könntet mir sagen ob meine Lösungswege und Resultate so stimmen:

Ein System besteht aus 2 Bauteilen. Die Wahrscheinlichkeit dass Bauteil 1 (A) ausfällt ist 0.5; die Wahrscheinlichkeit dass Bauteil 2 (B) ausfällt ist 0.25. Berechne die Wahrscheinlichkeiten dass:

a) Beide Bauteile ausfallen?
P(A) * P(B) = 0.5 * 0.25 = 0.125
b) ein Bauteil ausfällt?
P(A) + P(B) = 0.5 + 0.25 = 0.75
c) kein Bauteil ausfällt?
P(A)c * P(B)c = 0.5 * 0.75 = 0.375
(P(A)c ist Gegenereignis von P(A)
(P(B)c ist Gegenereignis von P(B)

Bei a und b bin ich mir ziemlich sicher, dass es stimmt. Bei c bin ich unsicher.

Danke wäre froh um Rückmeldungen.
Herzliche Grüsse
Bruno

TheBozz · 23. Oktober 2009 um 20:42

Hey Bruno,

a) Beide Bauteile ausfallen?
P(A) * P(B) = 0.5 * 0.25 = 0.125

Des stimmt schon mal.

b) ein Bauteil ausfällt?
P(A) + P(B) = 0.5 + 0.25 = 0.75

Des ist falsch. Überlege dir, dass es nur 2 Möglichkeiten gibt:

Bauteil 1 ist kaputt - dann muss aber Bauteil 2 funktionieren.
Bauteil 2 ist kaputt - dann muss aber Bauteil 1 funktionieren.
Bei dir ist nur die Wahrscheinlichkeit in der Rechnung, dass 1 Bauteil kaputt ist.

c) kein Bauteil ausfällt?

Viel rechnen muss man eig nicht mehr, wenn man a) und b) hat, denn was für Möglichkeiten gibt es denn sonst noch, wie die Bauteile sein können? Keine mehr…also einfach 1 - die Wahrscheinlichkeiten von a9 und b).

Gruß René

Bruno_dcce15 · 23. Oktober 2009 um 21:05

Hi Rene
Danke für Deine Nachricht. Also zuerst hatte ich (P(A) * P(B)) / 2 womit ich dann auf (0.5 + 0.25) / 2 = 0.375 käme. Aber macht das Sinn ich Stufe damit ja die Ausfallmöglichkeit von Bauteil 1 um 0.125 herunter und erhöhe die von Bauteil 2 um den gleichen Wert.

Für c) muss ich da einfach das komplementäre Ereignis von a) nehmen wodurch ich 1 - 0.125 = 0.675 hätte. Würde es denn da Sinn machen wenn ich b) miteinbeziehe ?

Grüsse
Bruno

Martin · 23. Oktober 2009 um 21:07

Hallo Bruno,

Ein System besteht aus 2 Bauteilen. Die Wahrscheinlichkeit
dass Bauteil 1 (A) ausfällt ist 0.5; die Wahrscheinlichkeit
dass Bauteil 2 (B) ausfällt ist 0.25.

OK, dann weißt Du an dieser Stelle schon, dass bei allem, was Du bei dieser Aufgabe an Wahrscheinlichkeiten irgendwo herausbekommst, es niemals „p(A) + p(B)“ sein darf, sonst wärs falsch! Warum? Die Bauteile sind voneinander unabhängig, es könnte also auch p(A) = 0.8 und p(B) = 0.9 vorgegeben sein. Dann wäre aber p(A) + p(B) größer als 1 und das schließt aus, dass diese Summe als Wahrscheinlichkeit interpretierbar ist. Nur Größen ∈ [0, 1] können ja Wahrscheinlichkeiten sein.

a) Beide Bauteile ausfallen?
P(A) * P(B) = 0.5 * 0.25 = 0.125

Richtig.

b) ein Bauteil ausfällt?
P(A) + P(B) = 0.5 + 0.25 = 0.75

Mit Sicherheit nicht P(A) + P(B) aus oben genanntem Grund.

c) kein Bauteil ausfällt?
P(A)c * P(B)c = 0.5 * 0.75 = 0.375

Richtig.

Also b) nochmal durchdenken

Überlege Dir auch, dass P(A) * P(B) und P(A)c * P(B)c garantiert immer in [0, 1] liegen, wenn P(A) und P(B) das tun. Das muss analog für ausnahmslos jeden Ausdruck gelten, den Du jemals als Wahrscheinlichkeit ausrechnest.

Gruß
Martin

TheBozz · 23. Oktober 2009 um 21:16

Hey Bruno,

Danke für Deine Nachricht. Also zuerst hatte ich (P(A) * P(B))
/ 2 womit ich dann auf (0.5 + 0.25) / 2 = 0.375 käme. Aber
macht das Sinn ich Stufe damit ja die Ausfallmöglichkeit von
Bauteil 1 um 0.125 herunter und erhöhe die von Bauteil 2 um
den gleichen Wert.

Des würde keinen Sinn machen.
Am einfachsten kannst dir die Zusammenhänge am Baumdiagramme aufzeichnen. Kann man so im Forum aber schwer darstellen Deswegen doch auf normalen Weg:
Ich hab dir ja vorher geschrieben, dass es nur die 2 Möglichkeiten gibt:
1 kaputt - dann 2 ok
2 kaputt - dann 1 ok

Versuche mal die beiden Wahrscheinlichkeiten einzeln zu berechnen. Dann musst nur noch beide Wahrscheinlichkeiten addieren.

Für c) muss ich da einfach das komplementäre Ereignis von a)
nehmen wodurch ich 1 - 0.125 = 0.675 hätte. Würde es denn da
Sinn machen wenn ich b) miteinbeziehe ?

Es würde nicht nur Sinn machen, sondern auch dazu führen, dass du die Aufgabe richtig gelöst hättest
Gibt ja nur die Möglichkeiten:

Alles kaputt ( a) )
1 Bauteil kaputt ( b) )
Alles ok ( c) )

Alle 3 zusammen ergeben den kompletten Wahrscheinlichkeitsraum. Wenn du also 2 schon hast, dann kannst die 3. herleiten.
Aber wie Martin schon geschrieben hat, war dein Lösungsweg auch richtig - wollte nur noch einen Denkanstoß geben, dass man da eig nicht mehr viel hätte rechnen brauchen.

Gruß René

Bruno_dcce15 · 23. Oktober 2009 um 21:53

Hallo Martin
Danke Dir auch für deine Hilfe. Also nochmals zu b) also ich nehme an es gilt hier der Satz: Seien A und B zwei Ereignisse und P(B) > 0. Dann ist die bedingte Wahrscheinlichkeit P(A|B) gleich:

\frac {P(A\bigcap B)}{P(B)}

Da die beiden unabhängig sind wäre es dann:

\frac {P(A)*P(B)}{P(B)}

Was dann wiederum P(A) ergibt. Somit wäre dann b) ein Bauteil ausfällt 0.5. Oder liege ich wieder falsch? Aber Sinn ergibt das für mich ehrlich gesagt nicht, auch wüsste ich nicht wie ich die von Rene vorgeschlagenen Wahrscheinlichkeiten einzeln ausrechnen kann bei diesem Fall…mit dem Laplace Würfel habe ich es kapiert aber so …

Herzliche Grüsse
Bruno

TheBozz · 23. Oktober 2009 um 22:11

Hey Bruno,

warum denn so kompliziert denken?

Wahrscheinlichkeit, dass Bauteil 1 kaputt ist und Bauteil 2 in Ordnung:

P(A) = \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{4} = \frac{3}{8}

Wahrscheinlichkeit, dass Bauteil 2 kaputt ist und Bauteil 1 in Ordnung:

P(B) = \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{8}

Wahrscheinlichkeit, dass genau 1 Bauteil kaputt ist, ist also beide Wahrscheilichkeiten aufaddiert: Wahrscheinlichkeit, dass Bauteil 1 kaputt ist und Bauteil 2 in Ordnung:
3/8 + 1/8 = 1/2

Kleiner Test, ob alles stimmt (Alle Wahrscheinlichkeiten addiert müssen 1 ergeben):
Wahrscheinlichkeit für beide Bauteile defekt: 1/8
Wahrscheinlichkeit für genau ein Bauteil defekt: 1/2
Wahrscheinlichkeit für kein Bauteile defekt: 3/8

Ergibt zusammen genau 1.

Noch ein kleines Abschlusszitat von Einstein:
„Man sollte alles so einfach wie möglich sehen - aber auch nicht einfacher.“

Gruß René

TheBozz · 23. Oktober 2009 um 22:13

Nachtrag
Ups, da hab ich wohl was zuviel kopiert bei:

Wahrscheinlichkeit, dass genau 1 Bauteil kaputt ist, ist also beide :Wahrscheilichkeiten aufaddiert: Wahrscheinlichkeit, dass Bauteil 1 :kaputt ist und Bauteil 2 in Ordnung:

Das fettgedruckte gehört da eig nicht hin
Gruß René

Bruno_dcce15 · 23. Oktober 2009 um 22:54

Danke Euch für die Hilfe…so habe ich mal eine gelöst…und auch nachvollziehbar.

Grüsse
Bruno

Martin · 24. Oktober 2009 um 14:49

Denksportaufgabe
Hallo Bruno,

es ist eine lustige kleine Denksportaufgabe, sich das komplette Set aller Fragen nach Wahrscheinlichkeiten zu überlegen, die man bei zwei Bauteilen A und B überhaupt stellen kann, und sie natürlich auch zu beantworten. So viele können es ja nicht sein. Ich komme auf 24 Stück (von denen nur die ersten 14 echt verschieden voneinander sind):

(1) A defekt:
(2) B defekt:
(3) A intakt:
(4) B intakt:

(5) A defekt und B defekt:
(6) A defekt und B intakt:
(7) A intakt und B defekt:
(8) A intakt und B intakt:

(9) A defekt oder B defekt:
(10) A defekt oder B intakt:
(11) A intakt oder B defekt:
(12) A intakt oder B intakt:

(13) A und B gleich (beide i oder beide d):
(14) A und B verschieden :

(15) Kein Bauteil defekt:
(16) Höchstens ein Bauteil defekt:
(17) Genau ein Bauteil defekt:
(18) Mindestens ein Bauteil defekt:
(19) Beide Bauteile defekt:

(20) Kein Bauteil intakt:
(21) Höchstens ein Bauteil intakt:
(22) Genau ein Bauteil intakt:
(23) Mindestens ein Bauteil intakt:
(24) Beide Bauteile intakt:

Wenn Du Lust hast, kannst Du ja versuchen, hinter jedes „:“ die richtige Wahrscheinlichkeit für das genannte Ereignis zu schreiben. Dabei soll A mit der Wahrscheinlichkeit p_A defekt und mit der Wahrscheinlichkeit q_A := 1 – p_A intakt sein. Für B analog. Zusatzregel fürs Ausfüllen: Verwende q statt 1 – p wo immer es möglich ist (der Sinn dahinter ist, dass dann gewisse Symmetrien in den Termen augenfälliger werden).

Es sieht übrigens nach viel mehr aus als es ist, und es ist viel lehrreicher als wenn Du gleich mit irgendwelchen Zahlen hantierst, die nur die Sicht auf das Wesentliche verschleiern.

Die Lösung habe ich unten angehängt. Spicken nur im äußersten Notfall erlaubt!

Viel Spaß und ein schönes WE
Martin

LÖSUNG:

(1) A defekt: p_a
(2) B defekt: p_b
(3) A intakt: q_a
(4) B intakt: q_b

(5) A defekt und B defekt: p_a p_b
(6) A defekt und B intakt: p_a q_b
(7) A intakt und B defekt: q_a p_b
(8) A intakt und B intakt: q_a q_b

(9) A defekt oder B defekt: 1 – q_a q_b
(10) A defekt oder B intakt: 1 – q_a p_b
(11) A intakt oder B defekt: 1 – p_a q_b
(12) A intakt oder B intakt: 1 – p_a p_b

(13) A und B gleich (beide i oder beide d): 1 – p_a q_b – q_a p_b []
(14) A und B verschieden : p_a q_b + q_a p_b []

(15) Kein Bauteil defekt: = (8) q_a q_b
(16) Höchstens ein Bauteil defekt: = (12) 1 – p_a p_b
(17) Genau ein Bauteil defekt: = (14) p_a q_b + q_a p_b []
(18) Mindestens ein Bauteil defekt: = (9) 1 – q_a q_b
(19) Beide Bauteile defekt: = (5) p_a p_b

(20) Kein Bauteil intakt: = (19) = (5)
(21) Höchstens ein Bauteil intakt: = (18) = (9)
(22) Genau ein Bauteil intakt: = (17) = (14)
(23) Mindestens ein Bauteil intakt: = (16) = (12)
(24) Beide Bauteile intakt: = (15) = (8)

[]
Den Term p_a q_b + q_a p_b kann man auch nur durch ps und nur durch qs ausdrücken.

Es gilt: p_a q_b + q_a p_b = p_a + p_b – 2 p_a p_b = q_a + q_b – 2 q_a q_b