Wahrscheinlichkeit und Münzwurf

Wissenschaft Physik
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Heute disktutiere ich schon den halben Tag mit einem Kollegen über den Münzwurf.

Die Ausgangsfrage ist folgende:

Du hast eine Münze und wirfst sie sagen wir 1000mal. Bei Kopf bekommst Du einen Euro von mir, bei Zahl musst Du mir einen Euro geben. Verlierst Du Geld, verliere ich Geld oder gehen wir beide am Ende mit ungefähr plusminus Null wieder nach Hause?

Hier kurz der Schriftwechsel:

ER:
„Im Mittel“ unentschieden, jedoch steigert sich die mittlere Abweichung von 0 (Gewinn/Verlust) mit der Anzahl der Würfe (und zwar mit der Potenz 1/2)

Darauf ICH:
Was bedeutet denn nun „im Mittel unentschieden“? Muss ich Geld an Dich zahlen, Du eventuell an mich oder muss keiner von uns beiden an den anderen Geld zahlen?

ER: Wer an wen zahlt wechselt für t-> infinity, der Betrag wächst mit sqrt(t). Für endliche Zeiten ist es gut möglich, dass man auf einer der beiden Seiten verbleibt…

ICH: Wer sagt Dir denn, dass „wer an wen zahlt für t -> infinity“ wechselt? Und warum sollte der Betrag ausgerechnet der Funktion SQRT(t) gehorchen?

Letztlich sagt das „Gesetz der großen Zahlen“, das wir hier zu Rate ziehen müssen, lediglich aus, dass sich für t-> infinity die relative Häufigkeit dem theoretischen Wert von ½ angenährt wird. Hingegen gibt das Gesetz der großen Zahlen keine Angaben darüber, wie es sich mit der absoluten Differenz zwischen Kopf- und Zahlwürfen verhält.

Siehe auch: http://www.tipptreffer.de/allgemein/lottoarcsin.htm

ER: Das Gesetz der grossen Zahlen gilt hier nicht, da es nur für völlig unabhängige Experimente gilt. Der Ausgangswert für Experiment n ist aber das bei n-1 gezahlte Geld, d.h. der Abstand wird übergeben…
Das Gesetz der grossen Zahlen sagt hier nur aus, dass für t-> infinity der Erwartungswert gegen null geht…

Das Gesetz der grossen Zahlen könntest Du anwenden, wenn Du jedesmal mit jemand anderem spielst! :0)

Die beschriebene Situation entspricht einem eindimensional Random-Walker! (1-dimensionale Diffuisonsanalogon) D.h. die Diffusionslänge (oder Reichweite oder zu zahlender mittlerer Betrag) geht
mit sqrt(t) gegen unendlich…

Hat er nun Recht und ich sollte ihm das eingestehen oder sind meine Schuldkenntnis trotz PISA dennoch nicht soooo schlecht?

Gruß,

Pierre

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Hallo,

Hat er nun Recht und ich sollte ihm das eingestehen oder sind

Ja.

meine Schuldkenntnis trotz PISA dennoch nicht soooo schlecht?

Naja, diese Aufgabe ist schon nicht ganz so trivial, weil sie erstmal den „gesunden Menschenverstand“ austrickst. Also nicht verzweifeln!

Erklärung:

Also, da du deinen Gewinn nicht vergißt, können sich Stränen ansammeln. Die W’keit eine Sträne zu haben, steig mit der Anzahl der Würfe (n), über die gespielt wird. Die Schwankungen in den Gewinnen bzw. Verlusten steigen also mit n, und zwar tatsächlich mit der Wurzel aus n.

Simpel:

Bei n=10 kann der maximale Gewinn ja 10 Euro nicht übersteigen. Tatsächlich schwanken die Gewinne in vielen solchen Spielen für Dich mit einer Standardabweichung (sd) von etwa 3.1 (=Wurzel(10)). Mal verlierst du, mal gewinnst du. Der Mittelwert deiner Gewinne bei vielen solchen Spielen ist wieder Null. Die Gewinne sind also etwa normalverteilt mit m=0 und s=Wurzel(n)(ANM!). Bei n=100 ergibt sich eine Steuuung der Gewinne von Wurzel(100) = 10, währen jetzt auch schon mal Gewinne von bis zu 100 Euro erzielt werden können. Sie Streuung der (möglichen) Gewinne wird mit Steigendem n größer! - Der Erwartungswert bleibt Null.

_(ANM!) Die Verteilung ist eigentlich binomial und nur näherungsweise normal. Durch p=0.5 ist aber die Näherung schon für kleine n (n

Die W’keit, einen bestimmten (Mindest-)Gewinn zu erzielen, ergibt sich aus der Verteilungsfunktion der Gewinne (G). Diese ist, wie gesagt, eine Normalverteilung mit m=0 und s=Wurzel(n). Wenn du nun wissen willst, mit welcher W’keit du einen Gewinn von mind. 10 Euro erzielst, dann ist das p(G>10) = 1-Phi(10). Für n=100 ist das 16%. Für n=1000 sind es 38%, bei n=10000 sind es schon 46% usw.

Also: Die W’keit, einen bestimmten Mindestgewinn zu erzielen, STEIGT mit der Zahl der Würfe (n).

WICHTIG: Weil die W’keit eines ebensogroßen Verlustes aber genauso groß ist (wegen der Symmetrie der Normalverteilung um m=0), wirst du im Mittel bei vielen solchen Spielen mit jeweils n Würfen nichts gewinnen. Behältst du den Gewinn/Verlust des jeweils letzten Spiels, ist es ja wieder wie ein einziges Spiel mit x*n Würfen! Der Erwartungswert ist und bleibt Null, nurdie Streuung steigt, und zwar mit Wurzel(n).

Alles klar?

LG
Jochen_

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Hi Jo,

Alles klar?

Hab zwar noch nicht alles 100% verstanden, denke aber, dass es mit der Zeit immer besser gehen wird. Werde wohl oder übel wieder tiefer in die Materie einsteigen müssen.

Stutzig hat mich auch vielmehr folgende Aussage von ihm gemacht:

Das Gesetz der grossen Zahlen gilt hier nicht, da es nur für völlig unabhängige Experimente gilt.

Was soll denn das Werfen einer Münze sonst sein, wenn nicht ein „völlig unabhängiges Experiment“? Worin besteht denn die hier behauptete Abhängigkeit?

Gruß,

Pierre

4

Hallo Pierre,

Du hast eine Münze und wirfst sie sagen wir 1000mal. Bei Kopf
bekommst Du einen Euro von mir, bei Zahl musst Du mir einen
Euro geben. Verlierst Du Geld, verliere ich Geld oder gehen
wir beide am Ende mit ungefähr plusminus Null wieder nach
Hause?

Das kommt jetzt auch noch auf die Münze selbst an.
Als der Euro rauskam, hat man festgestellt, dass durch die unterschiedliche Prägung auf den beiden Seiten, der Schwerpunkt nicht genau in der Mitte liegt. Dadurch ist bei manchen Werten die Wahrscheinlichkeit gar nicht 50/50, bzw. es gibt ja 3 mögliche Zustände (manchmal steht sie auch auf dem Rand).

MfG Peter(TOO)

5

Hallo an dieser Stelle.

Auf das Schlagwort ‚Random Walk‘ scheint noch keiner gekommen zu sein :wink:. Kurzfassung: jede Seite der Münze wird im Idealfall bei jedem zweiten Wurf gezeigt (also in 50 Prozent aller Fälle). Jetzt hat die Münze aber kein Gedächtnis über ihre letzten gezeigten Seiten. Wenn man also z.B. 3-mal Kopf bekommen hat und dieses ausgleichen will (oder soll) muss man 3-mal Zahl bekommen. Das aber geschieht nur mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,5^3 = 1/8 (daher vllt. auch die Anmerkung wg. der (Un)Abhängigkeit der Ereignisse)
Bereits dieses kleine Beispiel sollte zeigen, dass bei ‚Random Walks‘ der anfangs Führende mit höherer Wahrscheinlichkeit in Führung bleibt als das der anfangs Unterlegene den Rückstand aufholt.

HTH
mfg M.L.

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