Wahrscheinlichkeit von Zusammentreffen

Wissenschaft Mathematik
#1

Grüezi zusammen

Ich trage schon länger ein Problem aus dem Bereich der Wahrscheinlichkeit mit mir herum, das ich noch nicht habe greifen können. Es geht dabei um Ebenheits-Messungen von Flächen zweier Platten, die gegeneinander montiert werden und zwischen deren Ebenen ein Spalt entsteht. Die Fertigungs-Möglichkeiten erlauben eine gewisse Toleranz dieser Ebenheit beider Platten sodass sich die Gleichförmigkeit des Spaltes aus den beiden Ebenheiten der Flächen ergibt.
Bei den Messungen gibt es daher bei jeder Platte einen ‚höchsten‘ und einen ‚tiefsten‘ Punkt.
Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass sich beim Montieren der Platten jeweils diese beiden Punkte gegenüberliegen und so die grösstmögliche Variation der Spaltweite entsteht?
Als Analogie komme ich auf die bekannten Kugel-aus-dem-Sack ziehen zurück:

Es gibt zwei Säcke mit jeweils 100 gleichen Kugeln – 98 davon sind schwarz, eine ist grün und eine ist rot. Es werden nun zuerst aus dem ersten Sack alle 100 Kugeln nacheinander gezogen und festgehalten welche Farbe sie haben. Dabei ergibt sich z.B., dass die rote Kugel als 10. und die grüne Kugel als 63. gezogen wird.
Dann werden die Kugeln aus dem zweiten Sack genau so nacheinander gezogen und festgehalten welche Farbe sie haben.

Wie gross (oder wohl besser klein) ist nun die Wahrscheinlichkeit, dass auch beim Ziehen aus dem 2. Sack die rote Kugel als 10. und die grüne Kugel als 63. gezogen wird?

Mir geht es hier um einen allgemein gültigen Ansatz, der sich dann analog auf z.B. eine andere Anzahl an Kugeln übertragen lässt.
Ich möchte noch anmerken, dass ich kein Mathematiker und auch kein Statistiker bin, mich diese Themen aber auch beruflich interessieren.

Besten Dank schon mal für umsetzungsfähige Ansätze und liebe Grüsse

Thomas Ramel

#2

Hallo Thomas,

du ziehst 100 Kugeln aus dem Sack und möchtest wissen, wie wahrscheinlich es ist, dass die rote und die grüne Kugel jeweils an einer spezifischen Stelle landen. Da beim Ziehen jede Anordnung gleichwahrscheinlich ist, reicht es also, die Anzahl der Anordnungen zu zählen und den Kehrwert davon zu nehmen. Das Ganze entspricht (genau wie dein Ursprungsproblem) ja einfach dem Versuch, deine 100 Kugeln zufällig auf 100 Plätze zu verteilen.

Das kannst du dir dann so vorstellen: die rote Kugel sucht sich ein Plätzchen aus, dafür hat sie 100 Möglichkeiten. Dann sucht sich die grüne noch eins, sie hat nur noch 99 Möglichkeiten, denn die rote sitzt ja schon. Macht also 100*99=9900 Möglichkeiten. Die schwarzen Kugeln haben ja jetzt keine Wahl mehr, sondern müssen sich auf die freien Plätze setzen, also kommen auch keine Möglichkeiten hinzu, denn welche schwarze Kugel sich wohin setzt ist uns ja wurscht. Die Wahrscheinlichkeit, dass die beiden (die rote und die schwarze) Kugeln jetzt genau da sitzen wo du sie haben willst (besser gesagt nicht haben willst, wenn ich das richtig verstanden habe), ist also 1/9900, also ungefähr 0,0001 oder 0,01%. Das kannst du auf eine beliebige Kugelanzahl n übertragen, einfach immer 1/(n*(n-1)) (tut mir leid, ich hab grad keine Lust auf TeX, denke aber das ist gerade so noch lesbar)

Allerdings habe ich so gar keine Ahnung von deinen Platten, vielleicht ist die Verteilung deiner beiden Punkte nicht so zufällig (also gleichverteilt) wie bei den Kugeln, vielleicht sind sie eher nicht am Rand oder haben einen bestimmten Mindestabstand oder so, wie gesagt, keine Ahnung, das müsste dann aber, je nachdem wie stark es ist, berücksichtigt werden.

Liebe Grüße,
Nadine

#3

Grüezi Nadine

Danke für deine ausführliche Antwort :smile:

du ziehst 100 Kugeln aus dem Sack und möchtest wissen, wie
wahrscheinlich es ist, dass die rote und die grüne Kugel
jeweils an einer spezifischen Stelle landen. Da beim Ziehen
jede Anordnung gleichwahrscheinlich ist, reicht es also, die
Anzahl der Anordnungen zu zählen und den Kehrwert davon zu
nehmen. Das Ganze entspricht (genau wie dein Ursprungsproblem)
ja einfach dem Versuch, deine 100 Kugeln zufällig auf 100
Plätze zu verteilen.

Ja, ich glaube, dass dies den Punkt recht gut trifft.

Das kannst du dir dann so vorstellen: die rote Kugel sucht
sich ein Plätzchen aus, dafür hat sie 100 Möglichkeiten. Dann
sucht sich die grüne noch eins, sie hat nur noch 99
Möglichkeiten, denn die rote sitzt ja schon. Macht also
100*99=9900 Möglichkeiten. Die schwarzen Kugeln haben ja jetzt
keine Wahl mehr, sondern müssen sich auf die freien Plätze
setzen, also kommen auch keine Möglichkeiten hinzu, denn
welche schwarze Kugel sich wohin setzt ist uns ja wurscht. Die
Wahrscheinlichkeit, dass die beiden (die rote und die
schwarze) Kugeln jetzt genau da sitzen wo du sie haben willst
(besser gesagt nicht haben willst, wenn ich das richtig
verstanden habe),

Das ist korrekt sie sollen nach Möglichkeit nicht da sitzen :smile:

ist also 1/9900, also ungefähr 0,0001 oder
0,01%. Das kannst du auf eine beliebige Kugelanzahl n
übertragen, einfach immer 1/(n*(n-1)) (tut mir leid, ich hab
grad keine Lust auf TeX, denke aber das ist gerade so noch
lesbar)

Ja, das passt recht gut, das kann ich dann auch sehr einfach auf eine beliebige Anzahl von Kugeln übertragen.

Meine Kugeln sind die Anzahl Messpunkte die über die Länge der beiden Platten erfasst werden.

Allerdings habe ich so gar keine Ahnung von deinen Platten,
vielleicht ist die Verteilung deiner beiden Punkte nicht so
zufällig (also gleichverteilt) wie bei den Kugeln, vielleicht
sind sie eher nicht am Rand oder haben einen bestimmten
Mindestabstand oder so, wie gesagt, keine Ahnung, das müsste
dann aber, je nachdem wie stark es ist, berücksichtigt werden.

Ja, das stimmt.
Es gibt irgendwo auf jeder Platte einen Punkt der die höchste ‚Erhebung‘ und einen anderen, der das tiefste ‚Tal‘ ist. Wo genau die liegen ist bei jedem Plattenpaar anders. Die einzige Einschränkung die ich machen kann ist, dass die beiden Punkte nicht genau nebeneinander liegen (das kommt von der Art und Weise hier wie die Platten bearbeitet werden).
Sollten nun die höchsten ‚Erhebungen‘ und gleichzeitig auch die tiefsten ‚Täler‘ beider Platten einander genau gegenüber liegen, so wäre dies die maximal mögliche Variation des Spaltes der sich ergibt.
Sobald die Messungen erfolgt sind, können wir genau sagen (resp. berechnen) wie die Variation aussieht und wo diese Punkte liegen.
Mir geht es darum im Vorfeld eine Aussage über die Wahrscheinlichkeit machen zu können mit der diese Situation eintrifft.

Wenn ich das Prinzip nun richtig verstanden habe und mein Augenmerk nur auf eine der beiden Farben der 100 Kugeln lege so ist die Wahrscheinlichkeit, dass die eine Kugel genau da lieg wo ich sie nicht haben will 1/100 - also 1%.

Ich denke, dass meine Frage damit klar beantwortet ist und bedanke mich herzlich für deine Ausführungen. :smile:

Mit freundlichen Grüssen

Thomas Ramel

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