Wahrscheinlichkeitsaufgabe Sitzplätze

Wissenschaft Mathematik
1

Hallo,

ich habe eine kurze Frage zu dieser Aufgabe:

6 Personen wollen sich im Kino auf 8 freie Plätze setzen
a) Wie viele Sitzordnungen sind möglich?
b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die zwei freien Plätze nebeneinander sind, wenn alle Plätze mit gleicher Wahrscheinlichkeit ausgewählt werden?

Ich hätte jetzt bei der Tabelle der Kombinatorik (Binomialkoeffizient) folgendes ausgewählt-> Beachtung der fFolge und mit Wiederholung, somit wäre das die Formel n^k

8^6= 262144
Das ist aber falsch.

Die Lösung wäre 8!
Aber warum? Gehört das noch zum Binomialkoeffizienten? Oder ist das einfach nur „logisch“ erdacht?

bei b) steht in der Lösung 5040/40320

Wie kommt man da drauf? Ist das auch noch Binomialkoeffizient? Wenn ja,welche Formel hat er genommen?

Würde mich über Anregungen freuen!

2

Moin,

Ich hätte jetzt bei der Tabelle der Kombinatorik
(Binomialkoeffizient) folgendes ausgewählt-> Beachtung der
fFolge und mit Wiederholung, somit wäre das die Formel n^k

nein. Mit Wiederholung würde heißen, dass auch alle 6 auf demselben Stuhl sitzen könnten. Das wird zu eng.

Die Lösung wäre 8!

Auch nicht ganz richtig. Das würde gelten, wenn es 8 Leute gäbe.

Aber warum? Gehört das noch zum Binomialkoeffizienten? Oder
ist das einfach nur „logisch“ erdacht?

Mit Logik geht es immer:
Der erste Besucher hat 8 Plätze zur Auswahl. Der zweite nur noch 7. Der dritte nur noch 6. Usw. Macht zusammen 8*7*6*5*4*3 Möglichkeiten.

bei b) steht in der Lösung 5040/40320

Wie kommt man da drauf? Ist das auch noch Binomialkoeffizient?
Wenn ja,welche Formel hat er genommen?

Der Binomialkoeefizient hat es Dir wohl angetan. Aber den braucht man z.B. um die Anzahl der Ziehungsergebnisse beim Lotto zu berechnen.

Im Kino geht es wieder mit Logik. Da 6 Leute auf 8 Plätzen sitzen, bleiben immer 2 frei. Die Frage ist nur, ob die auch nebeneinander sind. Wir können die Frage also auch so formulieren: Wir wählen aus 8 Plätzen zufällig 2 aus. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die nebeneinander liegen?
Da kommt es schon mal darauf an, ob als 1. Platz ein Randplatz ausgewählt wird oder nicht. Diese beiden Fälle müssen wir unterscheiden:
Erster Platz ist ein Randplatz - die W. dafür ist 2/8 (weil es 2 Randplätze gibt). Die W., dass der 2. Platz danaben ist, ist 1/7 (noch 7 Plätze, nur 1 davon ist neben dem 1.). Zusammen also 2/8 * 1/7.
Die andere Möglichkeit - der erste Platz ist kein Randplatz. Die W. dafür ist 6/8. Und die W., dass der 2. Platz danaben ist, ist dann 2/7 (noch 7 Plätze zur Auswahl, auf 2 trifft die Bedingung „daneben“ zu). Zusammen dann 6/8 * 2/7.

Insgesamt beträgt die gesuchte Wahrscheinlichkiet dann
2/8 * 1/7 + 6/8 * 2/7 = 0,25

Die unterscheidet sich also auch um den Faktor 2 von Deiner Lösung.

Alles klar soweit?

Gruß
Olaf

3

Hallo Keozor,

beides lässt sich auch unter Benutzung von Binomialkoeffizienten leicht beantworten:

a) #Sitzordnungen = (n über k) · k! = 28 · 720 = 20160

denn (n über k) Möglichkeiten hat die k = 6 große Personengruppe, unter den n = 8 Kinoplätzen ihre k Stück auszuwählen, aber da die darauf platznehmenden Personen voneinander unterscheidbar sind, ist die Reihenfolge zu berücksichtigen und der Wert deshalb noch mit k! zu multiplizieren.

(n über k) · k! ist dasselbe wie

n!/(n – k)!

oder

(n–k+1) · (n–k+2) · (n–k+3) · … · n

Der kombinatorische Problemtyp dieser Aufgabenstellung ist Variation ohne Zurücklegen.

http://de.wikipedia.org/wiki/Kombinatorik

b) p = (k + 1) / (n über k) = 7/28 = 0.25

denn unter n Sitzen n – k freie benachbarte Sitze auswählen kann man auf k + 1 verschiedene Arten, z. B. für n = 12 und k = 8:

----oooooooo
o----ooooooo
oo----oooooo
ooo----ooooo
oooo----oooo
ooooo----ooo
oooooo----oo
ooooooo----o
oooooooo----

Oder ist das einfach nur „logisch“ erdacht?

Ja, und das trifft letztlich auf die komplette Mathematik zu :wink:

Gruß und ein schönes WE
Martin

4

Danke euch beiden!! :smile: