Bei der Produktion von Tongefässen gibt es erfahrungsgemäss 20% Ausschuss. Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass bei der Herstellung von 4 Gefässen drei brauchbar sind?
Wie kann ich das lösen? 20%, dass ein Gefäss nicht brauchbar ist. Aber: Wahrscheinlichkeit, dass 3 von 4 brauchbar sind bei 20% Ausschussrate pro Gefäss???
Vielen Dank!
Genau drei oder mindestens drei?
A) Nehmen wir an, es ist die Wahrscheinlichkeit dafür gesucht, dass genau 3 Gefässe brauchbar sind.
Wenn 4 Gefässe hergestellt werden, so gibt es genau 4 Möglichkeiten, dass genau 3 Gefässe brauchbar sind:
Möglichkeit 1: Das erste Gefäss ist unbrauchbar, die Gefässe 2,3 und 4 sind brauchbar.
Möglichkeit 2: Das zweite Gefäss ist unbrauchbar, die Gefässe 1,3 und 4 sind brauchbar.
Möglichkeit 3: Das dritte Gefäss ist unbrauchbar, die Gefässe 1,2 und 4 sind brauchbar.
Möglichkeit 4: Das vierte Gefäss ist unbrauchbar, die Gefässe 1,2 und 3 sind brauchbar.
Für jede der Möglichkeiten 1 bis 4 ist die Wahrscheinlichkeit 10,24 %. Denn die Wahrscheinlichkeit, dass ein Gefäss unbrauchbar ist, beträgt 20 % (= 0,2). Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Gefäss brauchbar ist, beträgt demzufolge 80 % (= 0,8).
Die Wahrscheinlichkeit, dass genau ein Gefäss unbrauchbar ist und genau drei Gefässe brauchbar, beträgt bei jeder der vier Möglichkeiten 0,2 * 0,8 * 0,8 * 0,8 = 0,1024 = 10,24 %.
Nun rechnen wir noch die Wahrscheinlichkeit aus, dass genau eine der Möglichkeiten 1 bis 4 eintritt. Da die vier Möglichkeiten sich gegenseitig ausschliessen, können die vier Wahrscheinlichkeiten hierzu zusammengerechnet werden: 4 * 10,24 % = 40,96 %.
B) Nehmen wir an, es ist die Wahrscheinlichkeit dafür gesucht, dass mindestens 4 Gefässe brauchbar sind. Es sollen also genau 3 oder genau 4 Gefässe brauchbar sein.
Die Wahrscheinlichkeit, dass vier Gefässe brauchbar sind, beträgt 0,8 * 0,8 * 0,8 * 0,8 = 0,4096 = 40,96 %.
Die Wahrscheinlichkeit, dass genau 3 Gefässe brauchbar sind, beträgt, wie unter A) gezeigt, ebenfalls 40,96 %.
Die Wahrscheinlichkeit, dass 3 oder 4 Gefässe brauchbar sind, beträgt somit 40,96 % + 40,96 % = 81,92 %.
Unter B) muss es Anfang selbstverständlich heissen: Nehmen wir an, es ist die Wahrscheinlichkeit dafür gesucht, dass mindestens 3 Gefässe brauchbar sind…