Hallo miteinander,
Ich habe folgendes Problem:
Ich habe einen stochastischen Prozess y_{t}\in \mathbb{R}^4
, welcher durch die SDE
dy_{t}=F(y_{t})dt + \sigma dW_{t}\
mit
F:\mathbb{R}^4 \rightarrow \mathbb{R}^4,const=\sigma\in \mathbb{R}^4
gegeben ist.
Ich möchte nun numerisch die Dichte der Wahrscheinlichkeitsverteilung berechnen, die die Wahrscheinlichkeit angibt mit der sich die einzelnen Komponenten von y_{t}
in einem Intervall [a,b] befinden.
Dazu habe ich die SDE mit der Euler-Maruyma-Methode (schreibt man das so?) ein paar mal (~5000) simuliert, und die Wertebereiche der einzelnen Komponenten in kleine Intervalle I_{i}=[x(i),x(i+1)]der Länge h eingeteilt.
Jetzt habe ich einfach gezählt wie viele Punkte meine Simulation ausgespruckt hat, deren j-te Komponente im Intervall I_{i}=[x(i),x(i+1)] befinden und diese Zahl durch die gesamte Anzahl der Punkte geteilt, was eine Approximation der Wahrscheinlichkeit P(y^{j}_{t} \in [x(i),x(i+1)]) ist. Ich möchte aber nicht nicht die Wahrscheinlichkeit, sondern die Dichte haben. Wie komme ich nun von dem approximierten Wahrscheinlichkeitswert auf die Dichte? Ist folgende Überlegung richtig?
Theoretisch gilt ja
P(y^{j}_{t} \in [x(i),x(i+1)])=\int_{I_{i}}f(y^{j}_{t})dy^{j}_{t}
und
\int_{I_{i}}f(y^{j}_{t})dy^{j}_{t}\approx f(1/2(x(i)+x(i+1))h
nach der Mittelpunktregel für numerische Integration, d.h. ich kann
P(y^{j}_{t} \in [x(i),x(i+1)])\approx f(1/2(x(i)+x(i+1))*h
annehmen. Also würde
f(1/2(x(i)+x(i+1))\approx P(y^{j}_{t} \in [x(i),x(i+1)])/h
gelten. Stimmt das? Gibt es noch andere Möglichkeiten?
) die kumulative Verteilungsfunktion (sieh aus wie eine Treppe), bzw. eine Treppen-Dichte-Funktion. Vor allem aber liefert sie dir zwar die f(…) aber nicht die Vorschrift selber.