Wahrscheinlichkeitsmodell 'chromosomen-Mutation'

Wissenschaft Physik
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hallo, ich habe folgende Aufgabe, und kann sie einfach nicht lösen,
wie würdet ihr das machen ?

Modellierung einer Art von Mutationen :
n Chromosomen werden je in ein langes und ein kurzes Stück zerbrochen. Die entstehenden 2n Stücke werden „zufällig“ wieder zu n Paaren zusammengefügt.

a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, daß die ursprünglichen Chromosomen dabei wieder hergestellt werden ?

b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, daß jedes lange Stück, mit einem kurzen vereinigt wird ?

Das müsste irgendwas mit Binomialverteilung zu tun haben, zumindest haben wird das gerade besprochen…

Wer kann helfen ?

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Hallo,

also ich habe ziemlich lange über das Problem nachgedacht und hab gehofft, dass jemand vor mir antwortet, um evtl. eine zweite Meinung einzuholen, da dies aber nicht geschehen ist, folgender Lösungsvorschlag. Übrigens kann ich mir hier nicht vorstellen, wie man das mit der Binomialverteilung machen soll, also elementare Kombinatorik:

Modellierung einer Art von Mutationen :
n Chromosomen werden je in ein langes und ein kurzes Stück
zerbrochen. Die entstehenden 2n Stücke werden „zufällig“
wieder zu n Paaren zusammengefügt.

Modifizier das Problem, falls einige meiner Annahmen nicht stimmen, da ich mich in Bio wenig auskenne.

a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, daß die ursprünglichen
Chromosomen dabei wieder hergestellt werden ?

  1. Annahme: Ich denke mal an, dass sich zwei Chromosome unterscheiden, wenn zuerst ein langes und dann ein kurzes Stück zusammengefügt ist, bzw. umgekehrt. Also ich nehme mal an, dass das dann zwei verschiedene Chromosome sind.

Wir berechnen jetzt die Anzahl aller möglichen Chromosome. Zuerst haben wir 2n Teilstücke, jedem dieser Stücke können (2n -1) Teilstücke angegliedert werden, da das 1. Teilstück selbst ja rausfällt. Also haben wir [2n*(2n-1)]=:Z (definiere ich, um Schreibarbeit zu sparen) mögliche Chromosome nach dem Zusammensetzen. Jetzt wollen wir n Stück rausziehen.

  1. Annahme: Die Reihenfolge, wie wir die Chromosome rausziehen ist egal, Hauptsache wir haben am Ende n Stück, die mit denen am Anfang übereinstimmen. Das Problem ist aber äquivalent zu dem, aus n Möglichen Elementen k rauszuziehen, ohne Beachtung der Reihenfolge, was ja bekanntlich „n über k, als (n k) (wobei das der Binomialkoeffizient ist)“ Möglichkeiten hat. Deshalb haben wir (Z n) als „Z über n“ verschiedene Möglichkeiten n Chromosome aus 2n*(2n-1) rauszuziehen. Da aber nur eine Chromosomenreihe die gesuchte ist, ist die W’keit 1/(Z n), also 1 zu „Z über n“

b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, daß jedes lange Stück,
mit einem kurzen vereinigt wird ?

Das ist jetzt meiner Meinung nach ein anderes Problem, als das Problem bei a) Man muss ganz genau die Aufgabenstellung beachten. Wir haben am Anfang n lange Teilstücke, jedem Teilstück können (2n-1) Teilstücke zugeordnet werden, also insgesamt [n*(2n-1)] Möglichkeiten. Jetzt ist es aber so, dass es n lange Stücke gibt, und zu jedem können n kurze zugeordnet werden. Also gibt es n*n mögliche „günstige Fälle“. Die W’keit ist:
„Anzahl günstiger Fälle“/„Anzahl möglicher Fälle“
Also: n²/[n*(2n-1)]
Jetzt sagt die Aufgabenstellung nicht konkret, ob die Möglichkeit „Kurzes+Langes Teilstück“ auch zu dem Ereignis jedem langen Stück wird ein kurzes zugeordnet gehört, dann müsste man die W’keit eben modifizieren.

Wie gesagt, die Aufgabenstellung lässt meiner Meinung nach Spielraum über.

Sorry, dass die Antwort etwas lang ist, aber das war glaub ich bei der Aufgabenstellung nötig.

Hoff es hilft, weitere Stellungnahmen wären nicht schlecht :smile:

MfG

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Hi,

also ich habe ziemlich lange über das Problem nachgedacht und

schonmal herzlichen Dank !

  1. Annahme: Ich denke mal an, dass sich zwei Chromosome
    unterscheiden, wenn zuerst ein langes und dann ein kurzes
    Stück zusammengefügt ist, bzw. umgekehrt. Also ich nehme mal
    an, dass das dann zwei verschiedene Chromosome sind.

ich denke das sollte hier bei der fragestellung egal sein…
übrigens wird wohl nur 1 nem kurzen 1 langes angelgliedert, es sollen ja wieder n chromosomen entstehen.

  1. Annahme: Die Reihenfolge, wie wir die Chromosome rausziehen
    ist egal, Hauptsache wir haben am Ende n Stück, die mit denen
    am Anfang übereinstimmen. Das Problem ist aber äquivalent zu
    dem, aus n Möglichen Elementen k rauszuziehen, ohne Beachtung
    der Reihenfolge, was ja bekanntlich „n über k, als (n k)
    (wobei das der Binomialkoeffizient ist)“ Möglichkeiten hat.
    Deshalb haben wir (Z n) als „Z über n“ verschiedene
    Möglichkeiten n Chromosome aus 2n*(2n-1) rauszuziehen. Da aber
    nur eine Chromosomenreihe die gesuchte ist, ist die W’keit
    1/(Z n), also 1 zu „Z über n“

ich hab mir mittlerweile überlegt, das das wohl 2n auf 2 sein könnte
und da es n! möglichkeiten Wiederholungen dieser Kombination gibt vielleicht W´keit : n! / 2n über 2

b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, daß jedes lange Stück,
mit einem kurzen vereinigt wird ?

Jetzt sagt die Aufgabenstellung nicht konkret, ob die
Möglichkeit „Kurzes+Langes Teilstück“ auch zu dem Ereignis
jedem langen Stück wird ein kurzes zugeordnet gehört, dann
müsste man die W’keit eben modifizieren.

ja also lang + kurz ist wohl kurz + lang…
so hab ich n^2 / 2n über 2

Sorry, dass die Antwort etwas lang ist, aber das war glaub ich
bei der Aufgabenstellung nötig.

Vielen Dank auf jeden fall,
vielleicht kannste ja nochmal was zu meiner Lösung sagen

mfG

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Hallo BioStudent,

Antwort zu a)
Die Wahrscheinlichkeit, dass die ursprünglichen Chromosomen wieder hergestellt werden, beträgt P1=n!*2^n/(2*n)!.
Antwort zu b)
Die Wahrscheinlichkeit, dass jedes lange Stück mit einem kurzen Stück vereinigt wird, ist P2=(n!)^2*2^n/(2*n)!.

Wie kommt man darauf? Zunächst ermittelt man die Anzahl der Möglichkeiten, durch Zusammensetzen der 2*n Teilstücke n Chromosomen zu erhalten. Jedes der 2*n Teilstücke gehört nach dem Zusammensetzen zu genau einem Chomosom und jedes Chromosom entsteht aus genau 2 Teilstücken. Jedes der n Chomosomen besitzt also 2 Plätze für Teilstücke. Wie viele Möglichkeiten gibt es, 2*n Teilstücke auf 2*n Plätze zu verteilen? Natürlich (2*n)!. Bei n=3 Chromosomen sähe das z.B. so aus: ((1,2), (3,4), (5,6)) ist eine Möglichkeit, ((3,5), (1,4), (6,2)) eine weitere usw. Hierbei stellen die Zahlen 1 bis 6 die Teilstücke dar. Nun spielt die Reihenfolge der Anordnung der Chromosomen aber keine Rolle. Zum Beispiel stellen ((1,2), (3,4), (5,6)) und ((1,2), (5,6), (3,4)) beide dasselbe Chromosomenensemble dar. Die Frage ist also: Wie viele Möglichkeiten gibt es, die n Chromosomen in verschiedene Reihenfolgen zu bringen? Offenbar genau n!. Die (2*n)! müssen also durch n! dividiert werden. Außerdem spielt es keine Rolle, ob ich Teilstück a mit Teilstück b zusammensetzte oder Teilstück b mit a. Zum Beispiel stellen ((3,5), (1,4), (6,2)) und ((5,3), (1,4), (6,2)) dasselbe Chromosomenensemlbe dar. Jedes 2-Tupel kann unabhängig von den restlichen 2-Tupeln 2!=2 mögliche Reihenfolgen haben, also muss (2*n)! nicht nur durch n! sondern auch noch durch 2^n dividiert werden. Die gesuchte Anzahl an Möglichkeiten, durch Zusammensetzen von 2*n Teilstücken n Chromosomen zu erhalten beträgt somit N=(2*n)!/(n!*2^n). Da nur genau 1 Möglichkeit die ursprünglichen Chromosomen ergibt, lautet die Antwort zu a) P1=1/N=n!*2^n/(2*n)!.
Bei b) muss noch bestimmt werden, auf wieviele Arten Chromosomen erstellt werden können, bei denen immer ein kurzes und ein langes Teilstück zusammentreffen. Da es genau n kurze und n lange Teilstücke gibt, ist dies gleichbedeutend mit der Frage, auf wie viele Arten n kurze Teilstücke n langen Teilstücken zugeordnet werden können. Dies sind gerade n! Möglichkeiten. Also ist die in b) gesuchte Wahrscheinlichkeit P2=n!/N=n!*n!*2^n/(2*n)!.

Ich hoffe, du konntest die Überlegungen nachvollziehen.

Es grüßt
Jens

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Hallo,
das Problem ist wirklich heikel…

ich hab mir mittlerweile überlegt, das das wohl 2n auf 2 sein
könnte
und da es n! möglichkeiten Wiederholungen dieser Kombination
gibt vielleicht W´keit : n! / 2n über 2

Gut, wenn sich „kurz lang“ und „lang kurz“ nicht unterscheiden, kann man sicher (2n 2) verschiedene Chromosomen generieren, das stimmt, wenn man meine erste Annahme verwirft. Jetzt wollen wir aber aus diesen wieder n verschiedene rausziehen, auch ohne Beachtung der Reihenfolge, das darf man nicht ohne Binomialkoeffizienten machen, da wir auch hier die Reihenfolge nicht beachten, das müsste wieder in einen Binomialkoeffizienten gepackt werden. Jetzt hab ich gerade nachgeprüft, dass (2n 2)immer eine ganze Zahl ist(ergibt n*(2n-1)), also müsste das gehen und die W’keit
1/ (n*(2n-1) über n) sein.

Darin seh ich auch das Problem bei Jens, dessen Argumentation ich an bestimmten Punkten nicht ganz nachvollziehen konnte. Wenn man eine bestimmte Anzahl von Elementen aus einer Menge, ohne Beachtung der Reihenfolge rauszieht, darf man nicht einfach mit der Operation „/“ argumentieren, sondern mit dem Binomialkoeffizienten. Beim Lotto gibt es z.B (49 6) verschiedene Möglichkeiten 6 aus 49 ohne Beachtung der Reihenfolge zu ziehen, was äquivalent zu unserem Problem ist, n aus
n*(2n-1) zu ziehen(so wie beim Lotto nur eine Zahlenreihe stimmt, stimmt bei uns nur eine Chromosomenkonstellation). Nach Modifikation des Problems müsste das dann die neue W’keit sein.

ja also lang + kurz ist wohl kurz + lang…
so hab ich n^2 / 2n über 2

Hier ist das eine andere Sache. Wir haben (2n 2) Chromosomen also mögliche Fälle und nur n² günstige Fälle, da wir ja eben jedem langen Stück ein kurzes zuordnen, und die Reihenfolge egal ist(ob ich zuerst n kurze Stücke nehme und denen n lange zuordne oder umgekehrt ist egal). Hier kann man den Qoutienten bilden, und deine Lösung wär dann richtig.

Sollte das im Rahmen einer Übung besprochen worden sein, kannst hier ja mal die Lösung reinsetzen, interessiert mich nämlich.

Tschüß

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Nachtrag
Übrigends, fällt mir gerade auf, dass bei der Aufgabe b) die 2. Lösung, wie von dir vorgeschlagen und meine erste übereinstimmen. Sind nur 2. Verschiedene Lösungswege.

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Hallo,

ich gebe zu, dass meine Argumentation nicht ganz sauber war, aber von der Richtigkeit meiner Ergebnisse bin ich nach wie vor ueberzeugt.

Also noch einmal ein etwas anderer Zugang:
Es sei also die Menge der 2*n Teilstuecke A={t1, T1, t2, T2, …, tn, Tn} gegeben. Die urspruengliche Chromosomenkonstellation sei gegeben durch die Menge B={{t1, T1}, {t2, T2}, …, {tn, Tn}}.
Die Menge der durch das Zusammenfuegen der Teilstuecke gegebenen Zufalls-Ereignisse kann beschrieben werden durch eine Menge E von Folgen von 2er-Tupeln. Fur n=2 saehe es z.B. so aus:
E={ ((t1,T1),(t2,T2)), ((t1,T1),(T1,t2)), ((t1,t2),(T1,T2)), ((t1,t2),(T2,T1)), ((t1,T2),(t2,T1)), ((t1,T2),(T1,t2)), … }.
Die Maechtigkeit von E ist N=(2*n)!.
Jetzt interessiert, wie viele der Elemente in E die Bedingung in a) erfuellen. Eines dieser Elemente lautet z.B. ((t1,T1),(t2,T2),…,(tn,Tn)). Weitere solcher Elemente erhaelt man durch Permutation der 2er-Tupel, also z.B. ((t2,T2),(t1,T1),…,(tn,Tn)). Dadurch bekommt man n! solcher Ereignisse. Die restlichen „guenstigen“ Ereignisse bekommt man durch Vertauschen der Reihenfolge innerhalb eines 2er-Tupels. Dies gibt einen Faktor 2^n. Insgesamt gibt es also N1=n!*2^n guenstige Ereignisse. Die gesuchte Wahrscheinlichkeit fuer a) lautet also
P1=N1/N=n!*2^n/(2*n)!.
Die Bedingung in b) wird z.B von dem Ereignis (((t1,T1),(t2,T2),…,(tn,Tn))) erfuellt. Wie fuer a) beschrieben kommen noch weitere Ereignisse durch Vertauschen der 2er-Tupel innerhalb der Folge und durch Vertauschen der Reihenfolge innerhalb eines 2er-Tupels hinzu, also bekommt man wieder den Faktor n!*2^n. Nun koennen aber noch die kurzen Teilstuecke (die kleinen t) untereinander vertauscht werden, was die Zahl der guenstigen Ereignisse um einen weiteren Faktor n! vergroessert. Die Anzahl an guenstigen Ereignissen betraegt somit N2=(n!)^2*2^n. Die fuer b) gesuchte Wahrscheinlichkeit betraegt somit
P2=N2/N=(n!)^2*2^n/(2*n)!.

Dass Dimas Loesung falsch ist, kann man anhand des Spezialfalles n=2 leicht nachpruefen. Sei {{A,1},{B,2}} die Originalkonstellation. Dann gibt es genau 2 weitere Konstelllationen, naemlich {{A,2},{B,1}} und {{A,B},{1,2}}. Da alle drei Konstellationen gleichberechtigt sind, ist die Wahrscheinlichkeit fuer eine davon genau 1/3. Bei Dima kommt aber 1/(6 ueber 2)=1/15 heraus, was offensichtlich falsch ist. (Bei meiner Loesung kommt tatsaechlich 1/3 heraus.)

Viele Gruesse
jens

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Hallo Jens,

irgendwie versteh ich dein Gegenbeispiel mit der Notation so nicht, und bin damit auch nicht zufrieden. Sei jetzt mal wirklich n=2 und A={a_1 A_1} und B={b_1 B_1} gegeben, der kleine Buchstabe steht für kurzes Stück und der große für langes Stück. Wir haben also nur 2 Chromosome. Und 4 Teilstücke.

Wieviele verschiedene Möglichkeiten gibt es, diese zu kombinieren, wobei wir „kurz lang“ und „lang kurz“ nicht unterscheiden:

{a_1 A_1} Das erste kommt ja selbst einmal vor
{b_1 B_1} Das zweite kommt selbst vor.
{a_1 b_1}
{a_1 B_1}
{A_1 b_1}
{A_1 B_1}

zum besseren Verständnis kann man das auch noch aufmalen, mit einem kurzen Strich, langem Strich, kurze Welle, lange Welle und kombinieren.

das ist doch so völlig richtig. D.h wir haben 6 mögliche Chromosomen. Jetzt ist die W’keit da 2 ohne Beachtung der Reihenfolge rauszuziehen 1/(6 2), ich sage nochmal, dass hier der Binomialkoeffizient ins Spiel kommt. Das ist aber genau n*(2n-1) für n=2 über 2 eben. Außerdem haben wir n²=4 lange Stücke, die mit nem kurzen verbunden sind.
Ich bestehe nicht auf meine Lösung, aber die scheint mir nach allen Überlegungen sinnvoll zu sein, vielleicht reden wir aber auch aneinander vorbei :smile:

MfG

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Und noch ein Nachtrag
Wenn du die entstandenen 6 Chromosome kombinierst, so dass die Reihenfolge in der sie gezogen werden nicht beachtet wird, so kommt man ganz genau auf 15 Chromosomenpaare, und erst jetzt kannst du sagen, die sind alle gleichberechtigt, und die W’keit ist 1/15. was 1/(6 2) ist. Also irgendwie kommt das so hin, ich seh keinen Fehler.

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Hallo Dima,

ich sehe jetzt, an welcher Stelle du den Fehler machst.
Du gibst die folgende Menge an (Die _1 habe ich der Übersicht wegen überall fortgelassen):
M={ {a,A}, {b,B}, {a,b}, {a,B}, {A,b}, {A,B} }
Aus M möchtest du jetzt 2-elementige Teilmengen bilden. Und tatsächlich gibt es (2*n über 2) verschiedene Möglichkeitn dies zu tun. Hier also (6 über 2)=15. Aber genau hier liegt der Hund begraben. Unter diesen 15 Teilmengen gibt es nämlich solche, die gar nicht zulässig sind. Zum Beispiel ist unter diesen 15 Teilmengen die folgende Teilmenge enthalten: { {a,A}, {a,B} }. Diese Teilmenge ist nicht erlaubt, weil das Teiltück a gleich 2 mal verbaut würde. Nach meinem Empfinden kann jedes Teilstück nur für genau 1 Chromosom verwendet werden. Zulässige Teilmengen sind somit nur die 3 folgenden:
{ {a,A}, {b,B} } [Bei dieser Antwort wurde das Vollzitat nachträglich automatisiert entfernt]

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Ich gebe dir recht,

da lag der Fehler drin, man darf natürlich nicht 2 mal das selbe kurze bzw. lange Teilstück rausziehen. Da war der Fehler versteckt, beim ganzen hin und her Chromosome verliert man schon mal die Übersicht :smile:

MfG

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Hi,

also herzlichen Dank nochmal,

diese Lösung hat man auch bei uns in der Übungsstunde dann angegeben…

grüße…