Hallo Experten!
Ich versuche vergebens die Wahrscheinlichkeit von…
Ein Monat hat 30 Tage. Mensch A ist 2 Tage zuhause und Mensch B ist 6 Tage zuhause. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass sich A und B treffen?
… zu berechnen. Könnt ihr mir weiterhelfen?
Ich hätte ca. 0,013 rausbekommen. Stimmt das?
Vielen Dank,
Luggi
Hallo Luggi
Ich möchte dir keine vollständige Lösung, sondern nur einen Ansatz dazu bieten.
Also ich verstehe die Aufgabe so: gefragt ist nach der Wahrscheinlichkeit dafür, dass A und B an mindestens einem Tag gleichzeitig zu Hause sind.
Um diese zu ermitteln, gehst du am besten über die Gegenwahrscheinlichkeit, d.h. die W’keit dafür, dass A und B an keinem Tag gleichzeitig zu Hause sind.
Egal, was für 6 Tage B „belegt“ hat; was ist die Wahrscheinlichkeit, dass der erste Tag von A, an welchem er zu Hause ist, nicht auf einen der 6 Tage von B fällt? Was die W’keit, dass der zweite Tag von A auf einen anderen als die 6 Tage von B fällt? -> Multiplizieren, Gegenwahrscheinlichkeit bilden ergibt die Lösung.
Gruss, Bruno
Hallo Bruno!
Ich möchte dir keine vollständige Lösung, sondern nur einen
Ansatz dazu bieten.
Eigentlich frage ich schon, dass mir geholfen wird. Nun gut, aber deine Erklärung verstehe ich nicht ganz.
Also ich verstehe die Aufgabe so: gefragt ist nach der
Wahrscheinlichkeit dafür, dass A und B an mindestens einem Tag
gleichzeitig zu Hause sind.
Genau, das möchte ich wissen. Die Betonung ist hier auf mindestens.
Ich habe es so gemacht, was offensichtlich falsch ist:
W, dass A zuhause ist, ist 2/30.
W, dass B zuhause ist, ist 6/30.
So und jetzt weiß ich nicht mehr weiter. Multiplizieren, addieren, was denn nun? Ich denke, dass die W kleiner sein muss als 2/30, also muss multipliziert werden (reine Gefühlssache).
2/30 * 6/30 = 1/75 also ca. 0,0133. Das ist 1,33%.
Wo ist mein Fehler?
Danke,
Luggi
hi,
Genau, das möchte ich wissen. Die Betonung ist hier auf
mindestens.Ich habe es so gemacht, was offensichtlich falsch ist:
W, dass A zuhause ist, ist 2/30.
W, dass B zuhause ist, ist 6/30.
du löst das am besten mit einer baumstruktur.
knoten 1: 2/30 für A zuhause nach links, 28/30 für A nicht_zuhause nach rechts.
von jedem der beiden entstandenen neuen knoten: 6/30 für B zuhause nach links, 24/30 für B nicht_zuhause nach rechts.
ganz links hast du dann den ast, der beide zuhause repräsentiert. ganz rechts ist der ast, der beie nicht_zuhause repräsentiert. in der mitte die beiden äste, wo jeweils einer zuhause ist, der andere nicht.
über die äste wird multipliziert.
d.h. W(A und B zuhause) = 2/30 . 6/30 = 1/15 . 1/5 = 1/75
über die endpunkte der äste wird addiert. wenn du also die wsk wissen willst dafür, dass genau 1 zuhause ist, musst du die wahrscheinlichkeiten der beiden mittleren äste addieren.
W(A oder B zuhause aber nicht beide) =
= W(A zuhause, B nicht) + W(B zuhause, A nicht) =
= 2/30 . 24/30 + 28/30 . 6/30 = 1/15 . 4/5 + 14/15 . 1/5 =
= 18/75
über den ganzen rechten ast multipliziert bekommst du die wsk, dass keiner von beiden zuhause ist.
W(beide nicht zuhause) = 24/30 . 28/30 = 4/5 . 14/15 = 56/76
.
/ \
2/30 / \ 28/30
. .
6/30 / \ /\ 24/30
/ \ / \
. . . .
A,B A B -
so in etwa
hth
michael
Hallo,
zunächst gibt es die verschiedensten Möglichkeiten
Vorschlag:
Additionssatz mit Zurücklegen:
30 Ereignisse, davon 2A, 6B bei 22 N
PA= 2/30 = 0,066
PB= 6/30 = 0,2
P = 0,066+0,2= 0,266
Die Wahrscheinlichkeit liegt bei 26,6%
Multiplikationssatz mit Zurücklegen;
P= 2/30 * 6/30 = 18/900 = 0,02
Die Wahrscheinlichkeit liegt bei 2%
Kombinationssatz mit Zurücklegen;
P= 0,066+0,2 – 0,066*0,2= 0,266 – 0,0132= 0,252
Die Wahrscheinlichkeit liegt bei 25,2%
Was Bruno meint ist die Grundgegenwahrscheinlichkeit Q. Sie ist die theoretische Aussage über das Ausbleiben eines bestimmten Ereignisses
Q= Anzahl der ungünstigen Fälle (n.-m.) geteilt durch Anzahl der möglichen Fälle (n.)
m. = Anzahl der günstigen Fälle
n. = Anzahl der möglichen Fälle
P = Grundwahrscheinlichkeit
Ev. sollte man noch die Kombinatronik betrachten da die Streuung sehr hoch ist.
Danke
F.-M.
[Bei dieser Antwort wurde das Vollzitat nachträglich automatisiert entfernt]
Für A gibt es (30 über 2) = 435 Möglichkeiten, an 2 Tagen im Monat zu Hause zu sein.
B ist an 6 Tagen anwesend laut Voraussetzung.
Von allen Möglichkeiten, die A hat, anwesend zu sein, gibt es (6 über 1) mal ((30-6) über 1) = 6*24 = 144 Möglichkeiten, an genau einem Tag gemeinsam mit B anwesend zu sein und (6 über 2) = 15 Möglichkeiten, an beiden Tagen gemeinsam mit B anwesend zu sein.
Wahrscheinlichkeit, mit B zusammenzutreffen:
(144+15)/435 = ca. 0.3655 = 36.55 %
Das Ganze kann man auch andersherum rechnen:
Für B gibt es (30 über 6) = 593775 Möglichkeiten, an 6 Tagen im Monat anwesend zu sein.
A ist an 2 Tagen anwesend laut Voraussetzung.
Von allen Möglichkeiten, die B hat, anwesend zu sein, gibt es
(2 über 1) mal ((30-2) über (6-1)) = 2 mal (28 über 5) = 196560
Möglichkeiten, an genau einem Tag gemeinsam mit A anwesend zu sein und
((30-2) über (6-2)) = (28 über 4) = 20475 Möglichkeiten, an beiden Tagen gemeinsam mit A anwesend zu sein.
Wahrscheinlichkeit, mit A zusammenzutreffen:
(196560+20475)/593775 = ca. 0.3655 = 36.55 %
Bitte nagelt mich darauf nicht fest. Ich habe aber versucht, zu nächtlicher Stunde mein Bestes zu geben.
[Bei dieser Antwort wurde das Vollzitat nachträglich automatisiert entfernt]
Wenn Du die Wahrscheinlichkeiten multiplizierst, erhältst Du die Wahrscheinlichkeit dafür, daß sich A und B an einem bestimmten, festgelegten Tag treffen. Diese Wahrscheinlichkeit ist viel kleiner als die Wahrscheinlichkeit, daß sie sich an irgendeinem Tag treffen.
Dieser Unterschied ist der Knackpunkt vieler Wahrscheinlichkeitsaufgaben.
[Bei dieser Antwort wurde das Vollzitat nachträglich automatisiert entfernt]
Hallo Luggi,
Ein Monat hat 30 Tage. Mensch A ist 2 Tage zuhause und Mensch
B ist 6 Tage zuhause. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit,
dass sich A und B treffen?
wenn ich das so verstehe, daß die Wahrsch.keit dafür gesucht ist, daß sich A und B irgendwann im Laufe eines Monats treffen, dann ist diese Rechnung die richtige:
Die Wahrsch.keit dafür, daß sich A und B an einem bestimmten, vorher festgelegten Tag treffen, weil sie beide zuhause sind, ist
2/30 * 6/30.
==> Die Wahrsch.keit dafür, daß sich A und B an einem bestimmten, vorher festgelegten Tag nicht treffen, ist
1 – 2/30 * 6/30.
==> Die Wahrsch.keit dafür, daß sich A und B während des gesamten Monats nicht treffen (d. h. sie treffen sich an keinem der 30 Tage), ist
(1 – 2/30 * 6/30)30.
==> Die Wahrsch.keit dafür, daß sich A und B während des Monats treffen (d. h. an wenigstens einem der 30 Tage), ist
1 – (1 – 2/30 * 6/30)30 = 0.331481…
Gruß
Martin
Bitte nicht böse sein, aber diese Rechnung ist falsch, und zwar an der Stelle, wo Du von der Wahrscheinlichkeit, daß sich beide an einem bestimmten Tag nicht treffen, zu der Betrachtung auf den ganzen Monat übergehst.
Die Ereignisse an den einzelnen Tagen des Monats sind nämlich nicht vollkommen voneinander unabhängig, da z. B. A nicht ein drittes Mal kommen kann, wenn er schon zweimal da war und B nicht ein siebentes Mal, wenn er schon sechsmal da war. Die Multiplikation von Wahrscheinlichkeiten führt bezüglich der UND-Verknüpfung aber nur dann zu einem richtigen Ergebnis, wenn die Ereignisse nicht voneinander abhängig sind.
Zur Veranschaulichung mache ich eine Betrachtung für eine Woche. Wenn A 2 Tage da ist und B 6 Tage, dann müssen Sie sich treffen. B ist nur einen Tag nicht da und wenn A 2 Tage da ist müssen sie sich treffen.
Nach Deiner Rechnung sähe es so aus:
Wahrscheinlichkeit für einen bestimmten Tag, daß sie sich an einem bestimmten Tag treffen:
2/7 * 6/7
Wahrscheinlichkeit, daß sie sich an einem bestimmten Tag nicht treffen:
1 - 2/7 * 6/7
Wahrscheinlichkeit, daß sie sich an keinem Tag treffen:
(1 - 2/7 * 6/7)7.
Wahrscheinlichkeit, daß Sie sich treffen:
1 - (1 - 2/7 * 6/7)7
= ca. 0.86 = falsch, denn die Wahrscheinlichkeit ist in Wirklichkeit 1, daß sie sich treffen.
Da kann man wieder einmal sehen, was für ein Glatteis das Rechnen mit Wahrscheinlichkeiten sein kann.
[Bei dieser Antwort wurde das Vollzitat nachträglich automatisiert entfernt]
Hallo Torsten,
Du hast recht. Die Aufgabe, zu der meine Rechnung die richtige Lösung liefern würde, lautet
Ein Monat hat 30 Tage. Mensch A ist im statistischen Mittel 2 Tage zuhause und Mensch B ist im statistischen Mittel 6 Tage zuhause. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass sich A und B treffen?
Der Zusatz „im statistischen Mittel“ ist ein kleiner, aber feiner Unterschied, und Du hast ihn schon bestens erklärt. Da der Zusatz in Luggis Aufgabe aber (zweifellos mit voller Absicht) fehlt, sind Dein Weg und Deine Lösung p = (144+15)/435 = 0.365517… komplett krass korrekt 
.
Ich habe auf die Schnelle ein kleines Pascal-Programm zur Simulation dieses Problems zusammengehackt – hier die Ergebnisse von 10 Läufen zu je 1 Mio Tests (der Sinn der 10 Läufe besteht darin, sich dann auch angucken zu können, wie stark die Werte schwanken):
3.6617700000E-01
3.6563200000E-01
3.6667000000E-01
3.6582700000E-01
3.6638200000E-01
3.6570100000E-01
3.6466400000E-01
3.6559700000E-01
3.6563300000E-01
3.6542500000E-01
Mit freundlichem Gruß
Martin
PROGRAM Simu;
USES CRT;
TYPE
TArr30 = ARRAY[0..30-1] OF BOOLEAN;
PROCEDURE FillArray (VAR x\_: TArr30; n\_: INTEGER);
VAR k, r: INTEGER;
begin
FOR k := 0 TO 30-1 DO
begin
x\_[k] := FALSE (\* nicht zuhause \*)
end;
FOR k := 0 TO n\_-1 DO
begin
REPEAT
begin
r := Random(30);
end
UNTIL NOT x\_[r];
x\_[r] := TRUE (\* zuhause \*)
end
end;
FUNCTION NDaysBothHome (VAR x\_, y\_: TArr30): INTEGER;
VAR n, k: INTEGER;
begin
n := 0;
FOR k := 0 TO 30-1 DO
begin
IF x\_[k] AND y\_[k] THEN Inc(n)
end;
NDaysBothHome := n
end;
PROCEDURE Main;
VAR
n, k, t: LONGINT;
a, b : TArr30;
begin
ClrScr;
n := 1000000;
t := 0;
FOR k := 0 TO n-1 DO
begin
FillArray(a, 2);
FillArray(b, 6);
IF (NDaysBothHome(a, b)\>0) THEN Inc(t);
end;
Writeln(t/n);
end;
begin
Randomize;
Main
end.