Wahrscheinlichkeitsrechnung

Wissenschaft Physik
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Hallo,

ich habe versucht folgende Aufgaben zu lösen, bin mir aber nicht sicher, ob ich richtig gerechnet habe (habe leider keine Musterlösungen). Als Formel habe ich Gesetz von Little und Auslastungsgesetz für einfachen Bediener.

Gesetz von Little:
FS = Lambda * V
FW = Lambda * W

Zur Berechnung der auslastung (System ohne Verluste):
Lambda * W + Epsilon = FS

Auslastungsgesetz für einfachen Bediener:
Epsilon = Lambda * B = Lambda / µ

FS = Mittlere Füllung des Systems (Wartespeicher + Bedienstation)

FW = Mittlere Füllung des Wertespeichers

Lambda = Ankunftsrate (Anzahl der Zugänge pro Zeiteinheit)

V = Mittlere Verweildauer

W = Mittlere Wartezeit

Epsilon = Mittlere Füllung der Bedienstation = Auslastung

B = Mittlere Bedienzeit

µ = Bedienrate

Fragen:
a) Bei ihrem Arzt sitzen durchschnittlich 5 Personen im Wartezimmer. Der Ankunftsabstand der Patienten ist durchschnittlich 4 Minuten. Wie lange muss man im Durchschnitt warten?

Daraus folgt:
FW = 5
Lamda = 1/4 Min.
W = FW / Lambda = 20

b) Wie lange behandelt dieser Arzt seine Patienten (durchschnittlich), wenn er nur zu 75% ausgelastet ist?

Epsilon = 75% = 0,75
B = Epsilon / Lambda = 0,75 / 0,25 = 3 Min

c) Wie viel Zeit benötigt man durchscnittlich für einen Arztbesuch?

FS = W + B = 23 Min.

d) An einem Router treffen 1000 Pakete pro Sekunde ein. Die Bedienrate ist µ = 800/s. Wie groß ist die Auslastung des Routers? Interpretieren Sie das Ergebnis!

Lambda = 1000/s
Epsilon = Lambda / µ = 1000/800 = 1,25 => Überlastung

e) In einem Restaurant sitzen durchschnittlich 20 Personen. Man wartet durchschnittlich 5 Minuten auf den Kellner und wird 35 Minuten bedient (bestellen + essen + zahlen). Wie viele Kunden kommen pro Stunde in dieses Restaurant?

FW = 20
B = 35 Min.
W = 5 Min.

Lambda = FW / (W + B) = 0,5 Kunden/Min. = 30 Kunden/Stunde

Habe ich richtig gerechnet?

MfG
Positron

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Auch hallo.

Das stammt doch bestimmt aus der Theorie der Warteschlangen, oder ? Weiteres Stichwort: Operations Research

Als Formel habe ich Gesetz von Little und
Auslastungsgesetz für einfachen Bediener.

Also (auch) ein m/m/1 System

Gesetz von Little:
FS = Lambda * V
FW = Lambda * W

Sieht gut aus: http://de.wikipedia.org/wiki/Littles_Gesetz

Zur Berechnung der auslastung (System ohne Verluste):
Lambda * W + Epsilon = FS

Auslastungsgesetz für einfachen Bediener:
Epsilon = Lambda * B = Lambda / µ

FS = Mittlere Füllung des Systems :frowning:Wartespeicher + Bedienstation)

FW = Mittlere Füllung des Wertespeichers

Lambda = Ankunftsrate (Anzahl der Zugänge pro Zeiteinheit)

V = Mittlere Verweildauer

W = Mittlere Wartezeit

Epsilon = Mittlere Füllung der Bedienstation = Auslastung

B = Mittlere Bedienzeit

µ = Bedienrate

Zum Vergleich:
Zit. nach „Übungsbuch Operations Research“ Seite 173
Bei unbeschr. Warteraum (N->00) ist d. durchschn.
Systemlänge: L = rho / (1-rho)
Schlangenlänge: Ls = rho^2 / (1-rho)
Anz. d. Kund. i.d.Abfert.:La = rho
Verweilzeit eines Kund. im System: t=L/lambda
Wartezeit eines Kund. im Warteraum: ts=Ls/lambda

Fragen:
a) Bei ihrem Arzt sitzen durchschnittlich 5 Personen im
Wartezimmer. Der Ankunftsabstand der Patienten ist
durchschnittlich 4 Minuten. Wie lange muss man im :smiley:urchschnitt warten?

Daraus folgt:
FW = 5
Lamda = 1/4 Min.
W = FW / Lambda = 20

Sieht gut aus :smile:

b) Wie lange behandelt dieser Arzt seine Patienten
(durchschnittlich), wenn er nur zu 75% ausgelastet ist?

Epsilon = 75% = 0,75
B = Epsilon / Lambda = 0,75 / 0,25 = 3 Min

Diese Formel wird durch das oben genannte gedeckt :smile:

c) Wie viel Zeit benötigt man durchscnittlich für einen
Arztbesuch?

FS = W + B = 23 Min.

Sieht dann auch gut aus.

d) An einem Router treffen 1000 Pakete pro Sekunde ein. :smiley:ie Bedienrate ist µ = 800/s. Wie groß ist die :Auslastung des
Routers? Interpretieren Sie das Ergebnis!

Lambda = 1000/s
Epsilon = Lambda / µ = 1000/800 = 1,25 => Überlastung

Scheint zu stimmen.

e) In einem Restaurant sitzen durchschnittlich 20 :stuck_out_tongue:ersonen.
Man wartet durchschnittlich 5 Minuten auf den Kellner :und wird
35 Minuten bedient (bestellen + essen + zahlen). Wie :viele
Kunden kommen pro Stunde in dieses Restaurant?

FW = 20
B = 35 Min.
W = 5 Min.

Lambda = FW / (W + B) = 0,5 Kunden/Min. = 30
Kunden/Stunde

Wenn die Zuordnung der Zahlen zu den Variablen stimmt, sieht das auch gut aus :wink:

mfg M.L. (bei dem dieser Typus Stoff schon etwas länger her ist…)