Wahrscheinlichkeitsrechnung

Wissenschaft Physik
1

Ich spiele ein Online-Game, bei dem per php folgendes Zufalls-Script
abläuft:

Man investiert eine bestimmte Summe um sich eine erhöhte Chance auf
einen Gewinn zu „erkaufen“ - das Maximum allerdings beträgt 20%
Chance.
Diese maximale 20% Chance kostet zum Beispiel 100 Euro.
Meine Frage Nr.1 lautet daher:
Ist es sinnvoll immer in die höchste Chance zu investieren, oder ist
die Wahrscheinlichkeit bei mehreren kleineren Investitionen höher?
Man kann übrigens unendlich oft investieren.

Frage 2: Inwieweit ändert sich das Ergbnis, wenn man berücksichtigt,
dass, wiederum per Zufalls-Script, die Höhe der Investition auch die
Höhe des Gewinns beeinflusst - wobei ich allerdings die
Berechnungsformel nicht kenne! Frage 2 kann also auch gerne ignoriert
werden… :wink:

Würde mich sehr über eine Antwort freuen!

Schon mal Danke im Voraus!
Matthias

2

Hallo,

Man investiert eine bestimmte Summe um sich eine erhöhte
Chance auf
einen Gewinn zu „erkaufen“ - das Maximum allerdings beträgt
20% Chance.
Diese maximale 20% Chance kostet zum Beispiel 100 Euro.

wie soll man die Frage nach der Lohnenswertigkeit einer 100 €-Investition beantworten, wenn Du nicht sagst, wie hoch der Einsatz und der Gewinn sind? „Ich will ein Auto erwerben und habe die Möglichkeit, mir mit 1000 € einen Preisnachlass von 20 % zu erkaufen. Ist das ein gutes Angebot?“ Antwort: Es kommt natürlich drauf an. Wenn der Händler 2000 € für die alte Karre haben will, ist es ein Witz, aber wenn der Luxusschlitten 100000 € kostet, ist es ein äußerst lohnendes Angebot.

dass, wiederum per Zufalls-Script, die Höhe der Investition
auch die
Höhe des Gewinns beeinflusst - wobei ich allerdings die
Berechnungsformel nicht kenne!

Wenn es dem Spiel so an Transparenz mangelt, wirft das ein durchaus fragwürdiges Licht auf selbiges, würde ich sagen.

Gruß
Martin

3

Hallo.

Ich spiele ein Online-Game,

Welches: Poker (obwohl der Chancenkauf dort eher ungewöhnlich ist), Blackjack,… ?
Aber wie schon geschrieben: es kommt drauf an :wink:

mfg M.L.

4

Hallo Martin,

danke für deine schnelle Antwort.
Es handelt sich ja nicht um einen Rabatt - sondern um einen festen
Wert! Im Spiel übrigens nur etwas Virtuelles…

Nehmen wir mal als Beispiel einen Spieltisch -
der Gewinn beträgt 10000 Euro!

Ich kann mich entscheiden, ob ich 20 Euro setze für eine 20% Chance,
10 Euro für eine 10% Chance, 1 Euro für eine 1% Chance u.s.w.

Die Frage lautet ja eigentlich - erhöht die Häufigkeit kleinerer
Einsätze die Gewinnchance gegenüber weniger größerer Einsätze, wenn
man festlegt, dass sich ab einem bestimmten Punkt die Einsätze in der
Relation zum Gewinn nicht mehr rechnen - ich also höchstens 5000 Euro
zu Investieren bereit bin…

Ich hoffe, das Problem etwas klarer dargestellt zu haben… :wink:

Gruß
Matthias

PS. Bei der Frage 2 (die wir jetzt mal ignorieren) musst du dir ein
Zufalls-Script vorstellen, in dem zum Beispiel hinterlegt ist, dass
ein 20%-Einsatz im Falle eines Gewinns einen Gewinn von 5.000-10.000
ausschüttet, bei 10% 3.000-10.000 und bei 1% von 500-10.000…

5

Hallo Matthias.

Nehmen wir mal als Beispiel einen Spieltisch -
der Gewinn beträgt 10000 Euro!

Ich kann mich entscheiden, ob ich 20 Euro setze für eine 20%
Chance,
10 Euro für eine 10% Chance, 1 Euro für eine 1% Chance u.s.w.

Wenn das die Bedingunges sind, dann setze doch 100 Euro fuer eine 100% Chance und nimm die 10.000 Euro mit!

Gruss,
Klaus

6

Die Frage ist: was passiert, wenn du nicht gewinnst? Totalverlust?

7

Wenn das die Bedingunges sind, dann setze doch 100 Euro fuer
eine 100% Chance und nimm die 10.000 Euro mit!

Gruss,
Klaus

Schöne Idee! :wink: Aber beim Lotto darf ich ja auch keine 49 Zahlen
ankreuzen!
Nein - 20% ist leider die Höchstchance!

Zum Verdeutlichen:
Ich setze 5 x á 20.- Euro auf 20% - das sind 5 volle Chancen für
100.-
oder ich setze 20 x á 5.- - das kostet auch 100.- aber vielleicht
habe ich durch die Menge des Setzens eins erhöhte Chance?

Keiner versteht mich, mittlerweile bereue ich es, die Frage gestellt
zu haben - auch wenn ich weiß, dass es nur an meinem eigenen
Unvermögen liegt die Frage mathematischer zu stellen! :wink:

Mit verzweifelten Grüßen
Matthias

8

Die Frage ist: was passiert, wenn du nicht gewinnst?
Totalverlust?

Nein - nur der Einsatz ist futsch!

Man kann die Frage vielleicht auch anders formulieren:

Würfelt man lieber 10 x mit einem normalen Würfel um an eine 6 zu
kommen, wenn man pro Wurf 1.- zahlt
oder 5 x mit einem Würfel auf dem zwei Sechsen sind, wenn man pro
Wurf 2.- zahlen muss.
Nur das ganze jetzt in 20 Stufen gedacht… :wink:

Gruß
Matthias

9

Hallo,

die Antwort auf deine Frage hängt davon ab, wie genau sich die Gewinnchance ändert, wenn du den Einsatz veränderst.

Erklärung:

Das Spiel hat einen Erwartungswert für den Gewinn (= der mittlere Gewinn in theor. unendlich vielen Spielen). Allgemein ist der Erwartungswert gegeben durch das Produkt aller möglichen Ereigniswahrscheinlichkeiten und den zugehörigen Gewinnen, abzüglich dem Einsatz (E). In deinem Fall gibt es nur die Ereignisse „Gewinn“ (G) mit der W’keit p oder „Nichts“ (mit der W’keit 1-p). Damit ist der Erwartungswert für einen Gewinn gegeben durch

Erwartungswert = (p*G+(1-p)*0) - E = p*G - E

[Beisp: Würfeln. Gewinn = 5€ bei einer 6. Einsatz: 1€. p = 1/6. Erwartungswert für den Gewinn: 1/6 * 5€ - 1€ = -1/6€. Das Spiel ist also nicht fair; der Spieler verliert im Mittel 1/6€ pro Spiel]

Nun sagst du, ist die Gewinnw’keit eine Funktion vom Einsatz

p = f(E)

also ist der Erwartungswert in abh. vom Einsatz:

Erwartungswert = f(E)*G - E

Deine Frage war - soweit ich das verstanden habe - ob der Erwartungswert steigt, wenn man den Einsatz aufteilt in mehrere (n) Teile. Der -Erwartungswert für eines dieser n Spiele ist dann

Erwartungswert für ein Spiel = f(E/n)*G - E/n

Es ist in der Bilanz unerheblich, wie viele Spiele gespielt werden; der Erwartungswert ist immer pro Spiel. Bei n Spielen ergibt sich

Erwartungswert für n Spiele = n * (f(E/n)*G - E/n) = n*f(E/n)*G - E

Gut, die Frage war also, ob

n*f(E/n)*G - E > f(E)*G - E

Vereinfacht:

n*f(E/n) > f(E)

Diese Frage kannst du nur beanntworten, wenn du f kennst, also die genaue Regel, wie der Einsatz die Gewinnwahrscheinlichkeit bedingt.

LG
Jochen

[Bei dieser Antwort wurde das Vollzitat nachträglich automatisiert entfernt]

10

Erwartungswert = (p*G+(1-p)*0) - E = p*G - E
n*f(E/n)*G - E > f(E)*G - E

Na super! Genau das hatte ich befürchtet! :wink:
Erst einmal vielen Dank für deine Mühe, ich weiß das wirklich zu
schätzen, aber solch eine Formel war der Grund, warum ich früher als
Schüler mit Magenkrämpfen im Bett geblieben bin!
Kurz gesagt: Ich verstehe kein Wort - bzw. keinen Buchstaben… :smile:

Ich versuchs trotzdem noch einmal, mit einer ganz anderen
Formulierung der Frage - und ich würde dich bitten, trotzdem am Ball
zu bleiben, weil ich mir denke, dass du genau der richtige Mann dafür
bist!

Nimm einfach mal an, der Gewinn hat keine bestimmte Größe - ich WILL
und MUSS aber diesen Gewinn oder dieses Ziel unbedingt erreichen!
Ich werde also immer in dieses Ziel investieren, solange bis ich es
erreicht habe!
Aber ich will natürlich so wenig wie möglich investieren!
Das reduziert die Frage auf das Wesentliche:

Setzen wir mal eine 1% Chance auf einen Euro fest - der höchste
Einsatz beträgt 20 Euro, also eine 20% Chance.

Nach meinem persönlichen Einschätzung (nicht mathematisch) ist es
nicht sinnvoll den höchsten Einsatz zu tätigen, weil ich ja das Ziel
bereits mit einem deutlich geringeren Einsatz erreichen KÖNNTE!

Also: Lieber 20 x 1 Euro oder 10 x 2 Euro oder 5 x 4 Euro - an Stelle
von 1 x 20 Euro! Die zwar kleine aber ja vorhandene Chance das Ziel
mit weniger als 20 Euro zu erreichen - die möchte ich nutzen!

Ich hatte gehofft, dass mir jemand einen Prozentsatz nennen könnte -
also „bei 12% Einsatz“ hast du die größte Chance…

…aber ich befürchte, da hab ich Rechnung ohne den Mathematiker
gemacht! :wink:

Nochmals Danke!
Matthias

11

Hi…

Ich versuchs trotzdem noch einmal, mit einer ganz anderen
Formulierung der Frage

Nimm einfach mal an, der Gewinn hat keine bestimmte Größe -
ich WILL und MUSS aber diesen Gewinn oder dieses Ziel unbedingt
erreichen!

Das ist ein psychologisches Problem.

Ich werde also immer in dieses Ziel investieren, solange bis
ich es erreicht habe!
Aber ich will natürlich so wenig wie möglich investieren!
Das reduziert die Frage auf das Wesentliche:

Setzen wir mal eine 1% Chance auf einen Euro fest - der
höchste Einsatz beträgt 20 Euro, also eine 20% Chance.

Nach meinem persönlichen Einschätzung (nicht mathematisch) ist
es nicht sinnvoll den höchsten Einsatz zu tätigen, weil ich ja
das Ziel bereits mit einem deutlich geringeren Einsatz erreichen
KÖNNTE!

Aber weil die Gewinnwahrscheinlichkeit dabei so gering ist, wird das nur selten passieren.

Nehmen wir an, Du hast einen bestimmten Betrag, den Du verspielen kannst, zB 100€. Du kannst also 100 * 1€ oder 5 * 20€ setzen (oder irgendwas dazwischen).

Die Wahrscheinlichkeit für einen Gewinn ist dann 1-(1-p)^(100/p)

Man kann nun versuchen, das nach p umzustellen um den idealen Einsatz zu berechnen, oder man setzt einfach alle Zahlen von 1 bis 20 ein. Zum Umstellen bin ich zu faul, also rechne ich:

1€ : 63%
10€ : 65%
20€ : 67%

Ein möglichst hoher Einsatz pro Spiel ergibt also die beste Gewinnwahrscheinlichkeit bei begrenztem Gesamteinsatz. Ist ja auch irgendwie logisch, denn wenn man sich noch bessere Wahrscheinlichkeiten kaufen könnte, käme man irgendwann bei 100% an.

Das gilt, solange der Zusammenhang von Einsatz und Wahrscheinlichkeit linear ist, d.h. für den doppelten Einsatz bekommt man die doppelte Wahrscheinlichkeit. Wenn höhere Wahrscheinlichkeiten überproportional mehr kosten, kann es sein, daß der niedrigste Einsatz besser ist.

Ob es überhaupt sinnvoll ist, dieses Spiel zu spielen, kann man auch mit einer vereinfachten Rechnung feststellen: Man berechnet aus den Regeln, was eine 100%-Chance kosten würde, obwohl man diese nicht spielen kann. Ist dieser hypothetische Einsatz höher als der Gewinn, wird man auf lange Sicht verlieren.

genumi

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1€ : 63%
10€ : 65%
20€ : 67%

Na, das war doch mal ne Ansage…

:wink:

Dankeschön für deine Mühe!

Gruß
Matthias