Wahrscheinlichkeitsrechnung / Additionssatz

[Max_Pow]

Hallo,

ich habe Probleme die Lösung der folgenden Aufgabe nachzuvollziehen, bzw. ich würde es anderst machen und auf ein anderes Ergebnis kommen:

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Es sei bekannt, dass die Wahrscheinlichkeit eines irreparablen Defekts einer Waschmaschine bestimmten Typs im Laufe des ersten Monats nach Inbe¬triebnahme 0,01 und für den Zeitraum der elf folgenden Monate 0,02 be¬trägt. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine Waschmaschine vor Ab¬lauf der Garantiezeit von einem Jahr total unbrauchbar wird?

Lösung
A - irreparabler Defekt während des ersten Monats.
B - irreparabler Defekt während der folgenden elf Monate.

A und B schließen sich gegenseitig aus. Die logische Verknüpfung ist ODER. Es gilt der spezielle Additionssatz:

Die Wahrscheinlichkeiten für A und B werden addiert und dementsprechend kommt 0,03 raus.
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Jetzt zu meinem Problem damit.

Ich würde rechnen 0,01+0,02*11 = 0,01916… . Es geht mir einfach nicht in den Kopf warum sich die Wahrscheinlichkeit addieren. Intuitiv würde ich sagen sie müsste auf 12 Monate betrachtet geringer werden. Ich fange gerade erst mit Wahrscheinlichkeitsrechnung an, von daher fehlen mir da noch die Zusammenhänge. Habt ihr eine griffige Erklärung warum sich die Wahrscheinlichkeiten addieren?

Beste Grüße

Max

[Alter_Graubart]

Guten Tag,

Die Wahrscheinlichkeiten sind nicht voneinander unabhängig. Die Maschine kann in den Folgemonaten nur ausfallen, wenn sie nicht schon im 1. Monat ausgefallen ist. Deshalb:
Wahrscheinlichkeit = 0.01 + 0.02(1-0.01)
Viele Grüße
E

[Che_Netzer]

Ich würde rechnen 0,01+0,02*11 = 0,01916… .

Wie das denn?
0,01 + 0,02*11 = 0,23
0,01 + 0,02^11 = 0,01…
(0,01 + 0,02)*11 = 0,33
(0,01 + 0,02)^11 = 0,00…
0,01*0,02*11 = 0,0022

Wie kommst du auf 0,01916…?? Tippfehler?

mfg,
Ché Netzer

PS: 0,01+0,02*11 wäre richtig, wenn die Wahrscheinlichkeit 0,02 für jeweils EINEN der folgenden Monate gelten würde.

[Hasenfu]

Hossa

Es sei bekannt, dass die Wahrscheinlichkeit eines
irreparablen Defekts einer Waschmaschine bestimmten Typs im
Laufe des ersten Monats nach Inbe¬triebnahme 0,01 und für den
Zeitraum der elf folgenden Monate 0,02 be¬trägt. Wie groß ist
die Wahrscheinlichkeit, dass eine Waschmaschine vor Ab¬lauf
der Garantiezeit von einem Jahr total unbrauchbar wird?

Ich glaube, ganz so einfach ist die Aufgabe nicht.

Die Wahrscheinlichkeit P₁, dass die Maschine im ersten Monat ausfällt beträgt:

P_1=0.01

Also „erlebt“ die Maschine den zweiten Monat mit der Wahrscheinlichkeit (1-P₁). In diesem geht sie mit der Wahrscheinlichkeit 0.02 kaputt. Die Wahrscheinlichkeit P₂ für einen Ausfall im zweiten Monat ist also:

P_2=(1-P_1)\cdot0.02

Die Wahrscheinlichkeit für einen Ausfall im 3-ten Monat ergibt sich analog aus der Überlegung, dass die Maschine den 3-ten Monat erstmal erleben muss, in dem sie dann mit der Wahrscheinlichkeit 0.02 ausfällt:

P_3=(1-P_1-P_2)\cdot0.02=\underbrace{(1-P_1)\cdot0.02}_{=P_2}-P_2\cdot0.02=\underbrace{P_2-P_2\cdot0.02}_{=0.98P_2}

Die Wahrscheinlichkeit für einen Ausfall im 4-ten Monat ist:

P_4=(1-P_1-P_2-P_3)\cdot0.02=\underbrace{(1-P_1-P_2)\cdot0.02}_{=P_3}-P_3\cdot0.02=\underbrace{P_3-P_3\cdot0.02}_{=0.98P_3}

Und so geht das weiter bis zum 12-ten Monat. Offenbar gilt also:

P_1=0.01
P_2=(1-P_1)\cdot0.02=0.0198
P_3=0.98P_2
P_4=0.98P_3=0.98^2P_2
P_5=0.98P_4=0.98^3P_2
P_6=0.98P_5=0.98^4P_2
\cdots
P_{12}=0.98P_{11}=0.98^{10}P_2

Die Wahrscheinlichkeit, dass die Waschmaschine im ersten Jahr ausfällt ist die Summe aller dieser 12 Wahrscheinlichkeiten:

P=P_1+P_2+0.98P_2+0.98^2P_2+0.98^3P_2+\cdots+0.98^{10}P_2

P=P_1+P_2\left(1+0.98+0.98^2+0.98^3+\cdots+0.98^{10}\right)

P=P_1+P_2\sum_{n=0}^{10}0.98^n

P=0.01+0.0198\cdot\frac{1-0.98^{11}}{1-0.98}

P\approx20.7276%

Viele Grüße

Hasenfuß

[OlafG]

Hossa

Hossa,

Ich glaube, ganz so einfach ist die Aufgabe nicht.

aber ganz so kompliziert, wie Du denkst, ist sie bestimmt auch nicht.
Du interpretierst da zuviel rein.
Es steht da, dass die Maschine mit 0,02 im Zeitraum Ende des ersten Monats … Ende des ersten Jahres ausfällt. Das ist gewiss nicht Monat-für-Monat gemeint. Du könntest es ja auch wochenweise rechnen oder tagesweise oder stetig…

Ich glaube auch, dass die 0,02 schon unter der Voraussetzung gemeint sind, dass sie den ersten Monat überlebt. Dann ist das Ergebnis wirklich einfach 0,01 + 0,02 = 0,03.

Und zur ursprünglichen Frage zurück: Wenn ein Ereignis auf 2 verschiedene Arten eintreten kann, addieren sich eben die Wahrscheinlichkeiten. Es sei denn, die beiden Möglichkeiten schließen sich aus. Das ist aber hier nicht so ganz klar aus der Aufgabenstellung zu erkennen.

Standardbeispiel: Wie groß ist die W., beim würfeln eine „2“ zu bekommen? 1/6, weil es eine „2“, aber 6 Möglichkeiten gibt. Wie groß ist die W., eine „5“ zu bekommen? Auch 1/6. Und wie groß ist die W., eine „2“ oder eine „5“ zu bekommen? 1/6 + 1/6 = 2/6.

Gruß und schönes Wochenende.
Olaf

[Alter_Graubart]

Die Maschine kann doch nur dann in einem der elf Folgemonat ausfallen, wenn sie nicht schon vorher, im ersten Monat ausgefallen ist. D.h. für die Wahrscheinlichkeit, in einem der Folgemonate auszufallen gilt 0.02*(1-0.01)
Gruß
E

[Che_Netzer]

Ganz so schwer ist die Aufgabe aber auch nicht

Du betrachtest zwei Zeiträume:
Monat 1
Monat 2-12
Für den ersten Zeitraum gibt es die Wahrscheinlichkeit 0,01, für den zweiten, GESAMTEN die Wahrscheinlichkeit 0,02.

mfg,
Ché Netzer

[Max_Pow]

Wie kommst du auf 0,01916…?? Tippfehler?

Sorry, ich meinte (0,01*0,02*11)/12=0,01916…

[Max_Pow]

Hallo Olaf,

das hört sich sinnig an. Wobei ich auch nicht wüßte was gegen die Argumentation von „Alter Graubart“ einzuwenden wäre. Da muss ich mal drüber schlafen.

Vielen Dank schonmal für die Antwort.

Beste Grüße

Max

[OlafG]

Hallo Max,

das hört sich sinnig an. Wobei ich auch nicht wüßte was gegen
die Argumentation von „Alter Graubart“ einzuwenden wäre.

nichts, wir haben beide recht. Je nachdem, wie die Aufgabenstellung gemeint ist. Also ob bei den 0,02 von vornherein nur die Maschinen berücksichtigt sind, die den ersten Monat überlebt haben, oder nicht.

Da muss ich mal drüber schlafen.

Gute Nacht.
Olaf

[Che_Netzer]

Aufgabenstellung in der Stochastik lassen ja üblicherweise auch mehr Deutungen zu als irgendwelche Prophezeiungen oder Horoskope…

mfg,
Ché Netzer

[Max_Pow]

Hallo,

nochmal an alle vielen Dank für die Antworten. Bin so durchschnittlich in Mathe. Aber irgendwie hab ich den Eindruck, dass Wahrscheinlichkeitsrechnung ein vergleichsweise schwieriges Gebiet ist. Da war Infinitesimalrechnung irgendwie gnädiger um reinzukommen. Aber na ja, aller Anfang ist schwer.

Also Danke nochmal.

MfG

Max