Hallo Experten,
ich melde mich hier mal wieder mit einer Frage. 
Diesmal geht es um Wahrscheinlichkeitsrechnung.
Folgende Frage: Bestimme die Wahrscheinlichkeit, HIV-infiziert zu sein, wenn der erste Test positiv und der zweite Test negativ war.
Folgendes ist gegeben:
B - Mensch ist infiziert, Bc - Mensch ist nicht infiziert
A - Test ist positiv, Ac - Test ist negativ
p(B) = 0,05; p(Bc) = 0,95 (bezogen auf alle Menschen, z.B. in Deutschland)
p(A/B)=0,99 (WS positiv getestet zu werden, wenn man positiv ist)
p(Ac/B)=0,01 (WS negativ getestet zu werden, wenn man positiv ist) etc.
p(A/Bc)=0,02
p(Ac/Bc)=0,98
Die Aufgabe soll mit Hilfe der Bayes’schen Formel gelöst werden.
Ich weiß, dass mein Lösungsweg falsch ist, aber ich weiß nicht, warum.
Man betrachte zuerst alle Menschen, die positiv getestet wurden. Davon sind P(B/A) tatsächlich HIV-infiziert:
p(B/A) = [p(A/B)*p(B)] / [p(A/B)*p(B) + p(A/Bc)*p(Bc)] = [0,05*0,99] / [0,05*0,99 + 0,95*0,02) = 0,72
Wenn wir nur die Gruppe der positiv Getesteten betrachten, ist also unser neues p(B) = 0,72 und p(Bc) = 0,28.
p(B/Ac) = [p(Ac/B)*p(B)] / [p(Ac/B)*p(B) + p(Ac/Bc)*p(Bc)] = [0,01*0,72] / [(0,01*0,72 + 0,98*0,28] = 0,025
Bereits mein erstes Zwischenergebnis unterscheidet sich von dem Richtigen (p(B/A) = 0,8), das könnte man jedoch mit viiiiel Glück für einen Rundungsfehler halten. Das größere Problem ist jedoch der zweite Rechenschritt. Dort wird im Nenner nicht p(B)=0,8, sondern p(B)=0,2 eingesetzt. Das erscheint mir jedoch allein von der Logik her schon falsch, stellt doch p(B) die Anzahl der infizierten Personen unter den positiv getesteten dar, da wäre es doch schön blöd, wenn nur 0,2 davon wirklich positiv wären…
Das Endergebnis der Vorlage ist dann 0,0025 (also genau ein Zehntel von meinem…).
Habt ihr eine Idee, was ich falsch gemacht haben könnte?
Schöne Grüße,
Anja
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