Hossa 
Beim Bingo dürfen Sie 10 verschiedene Zahlen zwischen 1 und
100 auswählen (inklusive 1 und 100).
Hier kann man sich 100 Kugeln mit Nummern vorstellen. Die Kugeln mit den 10 ausgewählten Nummern werden markiert und zu den übrigen zurückgelegt.
Dann werden 60 verschiedene Zahlen zwischen 1 und 100 gezogen.
Befinden sich unter diesen 60 Zahlen alle Ihre zehn Zahlen
Nehmen wir zunächst an, es würden nur 10 Kugeln gezogen. Die Wahrscheinlichkeit, dass alle 10 markierten Kugeln dabei sind, beträgt:
\frac{10}{100}\cdot\frac{9}{99}\cdot\frac{8}{98}\cdot\frac{7}{97}\cdot\frac{6}{96}\cdot\frac{5}{95}\cdot\frac{4}{94}\cdot\frac{3}{93}\cdot\frac{2}{92}\cdot\frac{1}{91}
Nun nehmen wir an, es würden 11 Kugeln gezogen und alle 10 markierten sollen dabei sein. Dann gesellt sich zu der Reihe oben eine der 90 nicht-markierte Kugel hinzu. Sie kann an 1-ter Stelle gezogen werden
\frac{90}{100}\cdot\frac{10}{99}\cdot\frac{9}{98}\cdot\frac{8}{97}\cdot\frac{7}{96}\cdot\frac{6}{95}\cdot\frac{5}{94}\cdot\frac{4}{93}\cdot\frac{3}{92}\cdot\frac{2}{91}\cdot\frac{1}{90}
oder an 2-ter Stelle
\frac{10}{100}\cdot\frac{90}{99}\cdot\frac{9}{98}\cdot\frac{8}{97}\cdot\frac{7}{96}\cdot\frac{6}{95}\cdot\frac{5}{94}\cdot\frac{4}{93}\cdot\frac{3}{92}\cdot\frac{2}{91}\cdot\frac{1}{90}
oder an 3-ter Stelle
\frac{10}{100}\cdot\frac{9}{99}\cdot\frac{90}{98}\cdot\frac{8}{97}\cdot\frac{7}{96}\cdot\frac{6}{95}\cdot\frac{5}{94}\cdot\frac{4}{93}\cdot\frac{3}{92}\cdot\frac{2}{91}\cdot\frac{1}{90}
oder … oder … oder … an 11-ter (=letzter) Stelle
\frac{10}{100}\cdot\frac{9}{99}\cdot\frac{8}{98}\cdot\frac{7}{97}\cdot\frac{6}{96}\cdot\frac{5}{95}\cdot\frac{4}{94}\cdot\frac{3}{93}\cdot\frac{2}{92}\cdot\frac{1}{91}\cdot\frac{90}{90}
Es gibt (11 über 1) Möglichkeiten für die Position der nicht-markierten Kugel. Oder anders ausgedrückt (11 über 10) Möglichkeiten, die 10 markierten Kugeln in der 11-er Reihe anzuordnen. Der Wert der Reihe ändert sich durch die 11-te Kugel gegenüber dem Wert der 10-er Reihe nicht mehr:
\frac{10}{100}\cdot\frac{9}{99}\cdot\frac{8}{98}\cdot\frac{7}{97}\cdot\frac{6}{96}\cdot\frac{5}{95}\cdot\frac{4}{94}\cdot\frac{3}{93}\cdot\frac{2}{92}\cdot\frac{1}{91}\cdot\underbrace{\frac{90}{90}}_{=1}
Nur die Anzahl der möglichen Reihenfolgen erhöht sich. Für 11 Kugeln gilt also die Wahrscheinlichkeit:
\binom{11}{10}\frac{10}{100}\cdot\frac{9}{99}\cdot\frac{8}{98}\cdot\frac{7}{97}\cdot\frac{6}{96}\cdot\frac{5}{95}\cdot\frac{4}{94}\cdot\frac{3}{93}\cdot\frac{2}{92}\cdot\frac{1}{91}=\binom{11}{10}\frac{10!}{\frac{100!}{90!}}=\binom{11}{10}\frac{10!\cdot90!}{100!}
Für die 60 „Kugeln“ beim Bingo erhält man als Wahrscheinlichkeit, dass alle 10 markierten (=getippte Zahlen) dabei sind:
P_{10}=\binom{60}{10}\frac{10!\cdot90!}{100!}=\frac{60!}{10!\cdot50!}\cdot\frac{10!\cdot 90!}{100!}\approx0.0044=0.44%
oder irgendeine Auswahl von genau fünf (nicht mehr und
nicht weniger) Ihrer Zahlen, haben Sie gewonnen.
Bei 5 Zahlen ist die Argumentation die selbe wie oben. Werden 5 der markierten Kugeln zuerst gezogen, gilt bei 60 gezogenen Kugeln:
\underbrace{\frac{10}{100}\cdot\frac{9}{99}\cdot\frac{8}{98}\cdot\frac{7}{97}\cdot\frac{6}{96}}_{markiert}\cdot\underbrace{\frac{90}{95}\cdot\frac{89}{94}\cdot\frac{88}{93}\cdot\frac{87}{92}\cdot\frac{86}{91}\cdots\frac{36}{41}}_{unmarkiert}
Nun gibt es (60 über 5) Möglichkeiten, die 5 markierten Kugeln in den 60 gezogenen Kugeln anzuordnen, so dass insgesamt gilt:
P_5=\binom{60}{5}\frac{\frac{10!}{5!}\cdot\frac{90!}{35!}}{\frac{100!}{40!}}=\frac{60!}{5!\cdot55!}\cdot\frac{10!}{5!}\cdot\frac{90!}{35!}\cdot\frac{40!}{100!}\approx0.2076=20.76%
Viele Grüße
Hasenfuß
