Wahrscheinlichkeitsrechnung / Erwartungswert

Wissenschaft Mathematik
1

Liebe Experten,

es wäre super, wennn mir einer von Euch bei folgender Aufgabe helfen könnte (bitte mit Lösungsweg):
„In einer Urne sind vier von 1 bis 4 durchnummerierte Kugeln. Durch 4-maliges Ziehen ohne Zurücklegen erhält man eine Anordnung der Kugeln. Die Zufallsvariable X gibt an, wie viele der Kugeln auf den Platz zu sitzen kommen, der ihrer Nummer entspricht. Berechne E(X).“

Ich habe jetze versucht über die Definition zu gehen, also
E(X)=x1*(P(X=x1))+…+x4*(P(X=x4), aber das gibt m.E. keine sinnvolle Lösung, höchstens wenn ich nochmal durch die Gesamtzahl der Ausfälle (24) dividiere, aber das ist ja Stochern im Nebel, und ich hätte noch keine Begründung.

Vielen lieben Dank im voraus,
mms

2

Hallo,

X kann 0, 2, 3 und 4 sein.

X kann nicht 1 sein, weil wenn eine Kugel falsch liegt, muss sie ja auf der Position einer anderen Kugel liegen, die dann da weg muss und damit auch falsch liegt.

Ich glaube, um die Verwendung der Def. kommt man nicht rum.

Ich würde in Zwei Schritten vorgehen:

Erstens ermittle ich, wie viele Möglichkeiten es gibt, x Kugeln zu bestimmen, deren Plätze richtig sein sollen: (x über 4). Diese x Kugeln haben dann ja eine fixe Position, während die restlichen X=(4-x) Kugeln die Plätze tauschen müssen.

Im zweiten Schritt wird also berechnet, wie viele Möglichkeiten es gibt, die Positionen der 4-x Kugeln so zu permutieren, dass KEINE von ihnen auf dem richtigen Platz sitzt.

Für x=4 und X=(4-4)=0 ist das trivial: Es gibt nur 1 Möglichkeit, nämlich keinen Tausch.

Für x=2 und X=(4-x)=2 ist das auch trivial: Es gibt nur 1 Möglichkeit, nämlich der Tausch der beiden Positionen.

Für x=1 bzw. x=0 muss man etwas nachdenken. Beim nachzählen komme ich auf 9 Möglichkeiten, ich habe aber auf die Schnelle keine Formel, die das berechnet…

Vielleicht bringt Dir das ja eine entscheidende Idee.

LG
Jochen

3

Hi,

ich sehe das fast genauso.

generell ist erstmal der Wertebereich von X = {0,1,2,3,4}.

X kann 0, 2, 3 und 4 sein.

X kann nicht 1 sein, weil wenn eine Kugel falsch liegt, muss
sie ja auf der Position einer anderen Kugel liegen, die dann
da weg muss und damit auch falsch liegt.

Äh, nö, X=3 geht nicht, da man nicht 3 richtige haben kann und dann auf dem übrigen Feld eine falsche.

Im zweiten Schritt wird also berechnet, wie viele
Möglichkeiten es gibt, die Positionen der 4-x Kugeln so zu
permutieren, dass KEINE von ihnen auf dem richtigen Platz
sitzt.
Für x=4 und X=(4-4)=0 ist das trivial: Es gibt nur 1
Möglichkeit, nämlich keinen Tausch.
Für x=2 und X=(4-x)=2 ist das auch trivial: Es gibt nur 1
Möglichkeit, nämlich der Tausch der beiden Positionen.
Für x=1 bzw. x=0 muss man etwas nachdenken. Beim nachzählen
komme ich auf 9 Möglichkeiten, ich habe aber auf die Schnelle
keine Formel, die das berechnet…

Irgendwie verhedderst du dich leider ein wening in den xen (oder ich kapiers nicht). Obwohl die Idee an sich richtig ist.
Im Grunde ist es aber so:
Für X=i ist (4 ü i) die Anzahl der Permutationen, mit denen P(X=i) für eine fixe passende Reihenfolge multipliziert werden muss (z.B.: i=1, dann passt (3,2,4,1)).

P(X=3) = 0 wegen obiger Begründung, weiter sind
P(X=1) = 2/24,
P(X=2) = P(X=4) = 1/24 (warum darf sich der Fragsteller selbst überlegen :smile: ).
P(X=0) braucht man für die Aufgabe eigentlich nicht, kann man aber gut zur Kontrolle hernehmen: Überlegt man sich eine passende Reihenfolge (z.B. (2,1,4,3)) und lässt die erste Stelle fix, dann kann man genau 2 mal tauschen, […] insgesamt gibt das dann
P(X=0) = 9/24.
alles in allem ist dann
Summe(i=0 bis 4)((4 ü i)*P(X=i))=1 (das passt also) und E(X) nun ein Kinderspiel.

Grüße,
JPL

4

Hallo,

Für x=4 und X=(4-4)=0 ist das trivial: Es gibt nur 1
Möglichkeit, nämlich keinen Tausch.

für X = 0 (d. h. keine Kugel richtigplaziert) gibts eine ganze Menge mehr Möglichkeiten als nur „keinen Tausch“. Du scheinst dem Irrtum zu unterliegen, das X-Spektrum wäre im Sinne von X(k) = X(N – k) symmetrisch – das ist jedoch nicht der Fall.

P(X=3) = 0 wegen obiger Begründung, weiter sind
P(X=1) = 2/24,
P(X=2) = P(X=4) = 1/24 (warum darf sich der Fragsteller selbst
überlegen :smile: ).

Liste Dir mal alle 24 Permutationen auf und zähl die richtige X-Anzahlverteilung aus:

X = 0: 9 mal → p(0) = 9/24 = 3/8
X = 1: 8 mal → p(1) = 8/24 = 1/3
X = 2: 6 mal → p(2) = 6/24 = 1/4
X = 3: 0 mal → p(3) = 0
X = 4: 1 mal → p(4) = 1/24

⇒ E(X) = p(0) · 0 + p(1) · 1 + … + p(4) · 4 =  1

Gruß
Martin

1 2 3 4 → X = 4
2 1 3 4 → X = 2
2 3 1 4 → X = 1
2 3 4 1 → X = 0
1 3 2 4 → X = 2
3 1 2 4 → X = 1
3 2 1 4 → X = 2
3 2 4 1 → X = 1
1 3 4 2 → X = 1
3 1 4 2 → X = 0
3 4 1 2 → X = 0
3 4 2 1 → X = 0
1 2 4 3 → X = 2
2 1 4 3 → X = 0
2 4 1 3 → X = 0
2 4 3 1 → X = 1
1 4 2 3 → X = 1
4 1 2 3 → X = 0
4 2 1 3 → X = 1
4 2 3 1 → X = 2
1 4 3 2 → X = 2
4 1 3 2 → X = 1
4 3 1 2 → X = 0
4 3 2 1 → X = 0

5

Hi Martin,

vielleicht war meine Notation nicht super, aber bis zum Ende lesen musst du schon.
"Für X=i ist (4 ü i) die Anzahl der Permutationen, mit denen P(X=i) für eine fixe passende Reihenfolge multipliziert werden muss ", d.h.
die Wahrscheinlichkeit dass eine Zahl richtig landet ist nach meiner Notation
(4 ü 1)*P(X=1) = 4 * 2/24 (wie es dann weiter unten auch dasteht) und genau dem was du in deiner Notation schreibst entspricht.

P(X=3) = 0 wegen obiger Begründung, weiter sind
P(X=1) = 2/24,
P(X=2) = P(X=4) = 1/24 (warum darf sich der Fragsteller selbst
überlegen :smile: ).

Liste Dir mal alle 24 Permutationen auf und zähl die richtige
X-Anzahlverteilung aus:

X = 0: 9 mal → p(0) = 9/24 = 3/8
X = 1: 8 mal → p(1) = 8/24 = 1/3
X = 2: 6 mal → p(2) = 6/24 = 1/4
X = 3: 0 mal → p(3) = 0
X = 4: 1 mal → p(4) = 1/24

Grüße,
JPL

6

Hallo Michael,

es wäre super, wennn mir einer von Euch bei folgender Aufgabe
helfen könnte (bitte mit Lösungsweg):
„In einer Urne sind vier von 1 bis 4 durchnummerierte Kugeln.
Durch 4-maliges Ziehen ohne Zurücklegen erhält man eine
Anordnung der Kugeln. Die Zufallsvariable X gibt an, wie viele
der Kugeln auf den Platz zu sitzen kommen, der ihrer Nummer
entspricht. Berechne E(X).“

ich denke der „Trefferquotient“ ist 1/n wobei n die Anzahl der
Kugeln ist.
Bei 4 Kugeln ist das einfach 1/4, also 25 %.
Bei 10 Kugeln also nur 10% u bei 2 Kugeln 50% was ja direkt
einleuchtend ist.
(Ich habe das empirisch ermittelt den „Formelbeweis“ noch nicht
parat)
Gruß VIKTOR

7

Hi JPL,

in Deiner Zusammenstellung…

P(X=3) = 0 wegen obiger Begründung, weiter sind
P(X=1) = 2/24,
P(X=2) = P(X=4) = 1/24 (warum darf sich der Fragsteller selbst
überlegen :smile: ).

…muss „P(X = i)“ eine andere Bedeutung haben als die Wahrscheinlichkeit, dass sich nach einem Ziehungsvorgang i Kugeln als richtigplaziert erweisen. Ich gebe zu, insbesondere nicht zu verstehen, warum P(X=2) = P(X=4) = 1/24 gelten soll (für was steht dieses P??) – aber das kann auch an mir liegen.

Gruß
Martin

8

Hi Martin,
wie gesagt, ich hab’s unglücklich ausgedrückt, P ist die Wahrscheinlichkeit für ein passendes 4-Tupel, wenn X=i ist und die Position fix ist.
Schlußendlich kommen wir aber auf dasselbe Ergebnis.
Grüße,
JPL