Hallo, Forum!
Ich beschäftige mich gerade mit einem kleinen Problem aus der
Wahrscheinlichkeitsrechnung und würde mich sehr freuen, wenn Ihr die
Gedankengänge und die Rechnung kurz überprüfen würdet. 
Schon mal vielen Dank! )
Gruss!
[] Es ist eine Hausaufgabe.
[x] Es wird eine komplette Lösung präsentiert.
(1) Lotto „k aus n“: Wie gross ist Wahrscheinlichkeit p für mindestens
t Treffer, wenn bei jeder Ziehung m>=k Tipps (statt der üblichen k
Tipps) abgegeben werden?
(2) Wie gross ist auf diese Weise die Wahrscheinlichkeit P, bei N
Ziehungen mindestens S mal mindestens t Treffer zu landen?
(3) Wie gross sind p und P fuer k=7, n=49, t=5, m=21; N=411, S=64. D.h.
(i) Lotto „7 aus 49“: Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit p für
mindestens 5 Treffer, wenn bei jeder Ziehung 21 Tipps abgegeben
werden?
Beispiel:
Tipps: 1 2 3 6 9 10 11 15 17 18 20 22 27 31 32 33 37 40 43 44 49
3 5 18 20 33 43 47 werden gezogen => 5 Treffer.
(ii) Wie gross ist auf diese Weise die Wahrscheinlichkeit P, bei 411
Ziehungen mindestens 64 mal mindestens 5 Treffer zu landen?
MEINE LÖSUNG:
(1) Sei (x y) der Binomialkoeffizient.
Es gibt insgesamt (n m) Möglichkeiten, m Tipps auf n Stellen zu
verteilen; (k x) Möglichkeiten, x Treffer auf k Gewinnstellen zu
verteilen; (n-k m-x) Möglichkeiten, die restlichen Tipps auf
Nicht-Gewinnstellen zu verteilen.
Die Wahrscheinlichkeit, x Treffer zu landen, beträgt also:
p(x) = [(k x) * (n-k m-x)] / (n m)
Damit gilt für die gesuchte Wahrscheinlichkeit:
p := p(x>=t) = p(t) + p(t+1) + … + p(t) = 1 - [p(0) + p(1) + … + p(t-1)]
(2) Für N gross gilt für die gesuchte Wahrscheinlichkeit
P = Phi[(N - N*p) / c] - Phi[(S - N*p) / c],
wobei c := sqrt[N*p*(1-p)] und Phi das Wahrscheinlichkeitsintegral.
(3) p=0.11; P~0, d.h. die Wahrscheinlichkeit für so viele Treffer ist praktisch Null.