Hallo,
ich hoffe, ihr kennt alle das alberne SPiel, das man kurz vor Weihnachten z.B. in der Schule spielt:
Wichteln
Damit jeder weiß, wem er ein Geschenk machen soll, schreibt jeder einen Zettel mit seinem Namen drauf. Die Zettel werden in einer Unre gesammelt und jeder zieht einen Zettel.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass bei n Schülern niemand seinen eigenen Namen zieht?
Viele Grüße,
Jan HEidemeier
Julklapp-Wachteln
Hallo, Jan, erste Idee (zur Diskussion gestellt):
Die W, daß einer sich nicht selbst zieht, ist 1-1/n, und da es n Leute sind, ist W demgemäß (1-1/n)^n.
Nach großem Gepoppe näherte sich das rapide e^[-1] =
1/e = ~36,78%.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkewit, daß von 30 zufällig getroffenen Leuten keine 2 am selben Tag Geburtstag haben?
Happy, moin, manni
Geburtstagsparadoxon…
Hallo Manni,
Wie groß ist die Wahrscheinlichkewit, daß von 30 zufällig
getroffenen Leuten keine 2 am selben Tag Geburtstag haben?
die Wahrscheinlichkeit ist überraschenderweise sehr gering, auch bekannt als „Geburtstagsparadoxon“).
Dass 2 Leute nicht am gleichen Tag Geburtstag haben (Schaltjahre lassen wir außen vor) ist noch ziemlich wahrscheinlich, nämlich 364/365 = 0,997…
Dass in einer Gruppe von 3 Leuten keine 2 am gleichen Tag Geburtstag haben, ist immer noch sehr wahrscheinlich:
364/365 * 363/365 = 0,991…
Wenn wir nun das Spielchen fortführen und uns wie o.g. eine Gruppe von 30 Leuten anschauen, wie groß ist dann die Wahrscheinlichkeit, dass keine 2 am gleichen Tag Geburtstag haben?
Nun ja: 364/365 * 363/365 * 362/365 *…* 336/365 = 0,29…
D.h. anders ausgedrückt: Sind 30 zufällig ausgewählte Personen ín einem Raum, so liegt die Wahrscheinlichkeit, dass 2 von ihnen am gleichen Tag Geburtstag haben, bei ca. 71 %.
Bei 60 Personen liegt die Wahrscheinlichkeit schon bei unglaublichen 99,41 %.
Man unterschätzt hier häufig die Anzahl der zu untersuchenden Paare.
Matheamtischer Gruß von
Alex
Paarweise Weihnachten und Ostern zusammen
Aber Alex!
Wer untersucht denn hier nur Paare?
Unwahrscheinlich…
Naja, okay, denn untersuchich auchen paar…
Und wemman die Geburtstachsstory noch schön verpackt erzählt, dann kann man bauen auf ein: "Du spinnst! Das Jahr hat doch 365 Tage!! Ich liebe solche Paradoxa!
Hassu auchnoch einen?
Und wie groß ist nun die Wahrscheinlichkeit, daß Ostern und Weihnachten dies Jahr wieder auseinanderfällt?
Mathokratzische Krüße von
Manni
Ziegen und andere Gemeinheiten…
Hi Manni,
Und wemman die Geburtstachsstory noch schön verpackt erzählt,
dann kann man bauen auf ein: "Du spinnst! Das Jahr hat doch
365 Tage!! Ich liebe solche Paradoxa!
was meinste, wieviel (virtuelle) Euros ich schon in Vertretungsstunden gegen Schüler gewonnnen habe mit der Wette: „Jeder von euch schreibt 2 Geburtstage auf (Mama, Papa oder Haustier). Ich wette gegen jeden von euch um 1 Euro, dass da 2 gleiche drunter sind! Denkt mal nach, wie unwahrscheinlich das ist: 60 Geb. in 365 Tagen, Wahrscheinlichkeit demnach 60/365, also ungefähr 1/6. Hehe!“
Und wenn ich dann gewonnen hab, ist den Schülern auch die ständige Frage beantwortet, wozu Mathe denn gut sei. 30 Euro in 10 Minuten zu gewinnen, ist schließlich ein gewichtiges Argument 
Hassu auchnoch einen?
Schon mal das Ziegenproblem ausdiskutiert, kennste ja sicher? Das mit den 3 Toren und einem Hauptgewinn. Kann ganze Nächte im Bekanntenkreis in Anspruch nehmen…
Gruß Alex
Bertrands Bogensehnen
Hi Ihr 2,
das mit den Ziegen ist ja nur ein bisschen bedingte Wahrscheinlichkeit,und dann sieht’s jeder.
Aber kennt Ihr das mit dem Kreis und der Bogensehne? Das sogenannte Bertrand’sche Paradoxon von 1889?
In einem Kreis mit Radius r>0 werde rein zufällig eine Sehne gezogen. Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist sie länger als die Seiten des einbeschriebenen gleichseitigen Dreiecks?
Viel Spaß beim Grübeln, muss weiterlernen…
Grüße
Katharina
Leider keine Sehnenziegen, aber ne Rote Mütze.
Hallo, Alex, Katharina!
Nein, das Ziegenproblem kenne ich leider nicht.
Mir fällt aber ein logisches Problem ein dazu (ähnlich wie das Medina-Mekka, aber nicht mir „doppelter Verneinung“:
Drei Weiße stehen am Marterpfahl. Die Insker haben ihnen Mützen aufgesetzt, und die Opfer müssen nun die Farbe ihrer je eigenen Mütze erraten.
Sie wissen, daß es möglicherweise eine (einzige) rote unter den sonst blauen Mützen gibt, sie können aber nur ihre beiden Mitopfer sehen, nicht sich selbst.
Wer die farbe seiner „eigenen“ Mütze errät, kommt frei.
Erst nach ein wenig überlegen (!) sagen alle 3 „ihre“ Farbe richtig und kommen alle frei.
Welche Farbe können die Mützen nur gehabt haben, und wieso haben die 3 richtig „geraten“?
Das Bogensehnenproblem habich auch mal gesehen. Hat irgendwas mit Flächenanteil versus Winkelanteil zu tun, wenn ich mich recht erinner.
Aber die Lösung des Problems/Paradox ist mit entfallen.
Würde mich freuen, wenn ihr hier mal die „Ziegen mit der Sehne“ vorführtet.
Herzlichst, moin, manni
Nur wenn keiner farbenblind ist!
Hallo Indianerhäuptling,
nachdem die „rote Mütze“ kein Muss ist, haben alle blaue Mützen. Hätte einer 'ne rote Mütze auf, würden die anderen sofort „blau“ schreien. Da aber jeder überlegt, sieht keiner eine rote Mütze vor sich.
Quizshow, 3 verschlossene Türen. Hinter 2 Türen stehen Ziegen, hinter einer ein Auto. Der Kandidat darf auf eine Tür zeigen. Daraufhin öffnet der Showmaster eine andere Tür. Dahinter befindet sich eine Ziege.
Der Kandidat wird gefragt, ob er seine getroffene Tür-Entscheidung nochmal ändern will. Wäre das vorteilhaft?
(Hatten wir, wie das Bogensehnenparadoxon - wofür es in dieser Formulierung 3 widersprüchliche Lösungen gibt, nämlich 1/4, 1/3 und 1/2 - , in mathematischer Stochastik.)
Grüße
Katharina
Ziegenproblem
Hallo Alle,
als Vorab-Warnung: Diskutiert das bitte hier nicht aus, das hatten wir schon etliche Male in „Denkspiele und Rätsel“!
Gruß Kubi
Verzeih mir Kubi
es fing ja mit dem Wuchteln an, und ich möchte echt nur noch die Frage spontan beantworten (kannte ich echt noch nicht; und danach von mir aus Schluß).
Weils ne psychologische Sache iss, daß man denkt, die Wahrscheinlichkeit hat sich geändert, nur weil man mehr Informationen hat.
Aber hinter den beiden Türen stehen nach wie vor zu gleicher Wahrscheinlichkeit wie vorher ne Ziege oder ein Auto, meiner Ansicht nach.
Zum Anschluß würde ich hier gerne die Bedeutung der Wahrscheinlichkeitsrechnung z.B. für die Primzahlverteilung besprechen. Die Wahrscheinlichkeit eine Primzahl zu sein als Maß für deren Häufigkeit und ummekehrt.
Und als Beispiel für Problematik der Fragestellung:
Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist die größte („zur Not nur“ bekannte) Zahl eine Primzahl?
Herzlichst, moin, manni
Denkspiel/Rätsel??? Ernsthafte Stochastik!!! owt
es fing ja mit dem Wuchteln an, und ich möchte echt nur noch
die Frage spontan beantworten (kannte ich echt noch nicht; und
danach von mir aus Schluß).
Weils ne psychologische Sache iss, daß man denkt, die
Wahrscheinlichkeit hat sich geändert, nur weil man mehr
Informationen hat.
Aber hinter den beiden Türen stehen nach wie vor zu gleicher
Wahrscheinlichkeit wie vorher ne Ziege oder ein Auto, meiner
Ansicht nach.
Ni,
nö. Das ist in der Tat per bedingte Wahscheinlichkeit ausrechenbar. Man sollte wechseln.
Max
In einem Kreis mit Radius r>0 werde rein zufällig eine
Sehne gezogen. Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist sie länger
als die Seiten des einbeschriebenen gleichseitigen Dreiecks?
Hi,
na ja, kommt drauf an welches Wahrscheinlichkeitsmaß man nimmt tät ich sagen. So 1/4, 1/3 oder 1/2. Je nachdem.
Max
Wie zieht man ‚zufällig‘ eine Sehne?
Das, Max, ist die entscheidende Frage. Wenn ich die Sehne durch ihren Mittelpunkt bestimme, ist das Ergebnis [Pi(r/2)^2]/[Pi*r^2] = 1/4. Wenn ich sie durch ihre beiden Endpunkte bestimme, so kommt [2*Pi/3]/[2*Pi] = 1/3 raus. Und wenn ich eine Sehne durch ihren Abstand vom Kreismittelpunkt festlege, so erhalte ich als W’keit [r/2]/r = 1/2.
Erst wenn man das Problem „erweitert“ und statt über eine Sehne („relativ“ zum Kreis) eine Gerade, die den Kreis trifft („absolut“) betrachtet, bleibt nur noch Variante 3 (1/2) übrig, denn nur diese ist invariant unter euklidischen Bewegungen (Drehungen und Translationen).
Grüße
Katharina