Hallo!
Du musst zwei Fälle unterscheiden:
Unabhängigkeit von Ereignissen einerseits und die gemeinsame bedingte Verteilung von Ereignissen andererseits.
Die gemeinsame Verteilung von Ereignissen wird auch gerne über ein Wahrscheinlichkeitsbäumchen abgebildet. In der ersten Ebene des Bäumchens ist noch die Verteilung der ersten Ereignisse abgebildet, bei dem Beispiel sind das die möglichen Ereignisse des ersten Würfelwurfes. Die erste Ebene hat 6 „Äste“.
In der zweiten Ebene sind die Ereignisse des zweiten Würfelwurfes abgebildet. Hier gibt es - wie Du richtig skizziert hattest - 6x6 Ereignisse. Diese zweite Ebene des Bäumchens ist die bedingte Verteilung der 2ten Ereignisse von den ersten Ereignissen. D.h. immer wenn man ein Ereignis aus dem Bäumchen auf der zweiten EBene abliest hat sich - wenn man Baumaufwärts geht - bereits eine spezielle Ausprägung in dem Bäumchen realisiert.
Die Wahrscheinlichkeiten werden in Wahrscheinlichkeitsbäumchen an den Ästen angetragen. In der ersten Ebene steht die Randverteilung der ersten Ereignisse (A) mit P({A= ai}). In der zweiten Ebene stehen die bedingten Verteilungen von den zweiten Ereignissen (B) mit P({B= bi} | {A=ai}); mit „|“ = „wenn bekannt ist, dass…“.
Für die gemeinsame Verteilung gilt nun die Multiplikation mit:
P({A= ai} und {B= bi})= P({A= ai}) * P({B= bi} | {A=ai}).
Dies leuchtet mit dem Beispiel mit dem Würfel auch ein - wählen wir als Einheit für die Wahrscheinlichkeit lieber Prozent und nehmen den Fall, dass sich bei beiden Ereignissen eine „1“ realisieren sollen.
Dann muss sich im ersten Wurf eine „1“ realisieren (16,6p%) und das zweite Ereigniss soll ebenfalls eine „1“ sein, allerdings wenn bekannt ist, dass im ersten Wurf eine „1“ sich bereits realisiert hat (16,6p%). Insgesamt ist die Wahrscheinlichkeit also 16,6p% von 16,6p% - und das entspricht genau 0,166p * 0,166p, genauer:
P({Wurf1=„1“} und {Wurf2=„1“})
= P({Wurf1=„1“}) * P({Wurf2=„1“}|{Wurf1= „1“})
= 0,166p * 0,166p.
Eine Besonderheit ergibt sich, wenn die Ereignisse der ersten Ebene von den Ereignissen der zweiten Ebene unabhängig sind (und umgekehrt), d.h. die Ebenen beeinflussen sich nicht wechselseitig.
Dann gilt zusätzlich:
P({A= ai} und {B= bi})= P({A= ai}) * P({B= bi}) - für das Bäumchen gilt dann, dass in der zweiten Ebene immer dieselben Wahrscheinlichkeiten für ein und dieselbe Ausprägung stehen - egal was vorangegangen ist.
Die beiden Würfelwürfe sind unabhängig, also gilt hier zusätzlich:
P({Wurf1=„1“} und {Wurf2=„1“})
= P({Wurf1=„1“}) * P({Wurf2=„1“})
= 0,166p * 0,166p.
Zwei Wege führen also nach Rom. Die Multipliktion von EReignissen gilt sowohl für unabhängige als auch abhängige Ereignisse - jedoch nur auf der Ebene der bedingten Wahrscheinlichkeiten der folgenden EBenen.
In Deinem zweiten Beispiel hast Du bedingte Wahrscheinlichkeiten. Du ziehst gleichzeitig zwei Buchstaben aus dem Beutel mit 70 "T"s und 30 "t"s.
Für den ersten Buchstaben hast Du eine Wkt. von P({"Buchstabe1=„T“})= 0,7 und P({"Buchstabe1=„t“})= 0,3. Der zweite Buchstabe ist abhängig vom ersten Buchstaben - je nachdem was sich hier ereignet hat schwankt die Wahrscheinlichkeit:
P({"Buchstabe2=„T“}|{"Buchstabe1=„T“})= 0,69p (es sind ja nur noch 69 "T"s da für den 2ten und 99 Buchstaben insgesamt).
Entsprechend gilt:
P({"Buchstabe2=„t“}|{"Buchstabe1=„T“})= 0,30p
P({"Buchstabe2=„T“}|{"Buchstabe1=„t“})= 0,70p
P({"Buchstabe2=„t“}|{"Buchstabe1=„t“})= 0,29p.
Als gemeinsame Verteilung gilt nun:
P({"Buchstabe1=„T“}|{"Buchstabe2=„T“})= 0,7 * 0,69p = 0,487878
P({"Buchstabe1=„T“}|{"Buchstabe2=„t“})= 0,7 * 0,30p = 0,212121
P({"Buchstabe1=„t“}|{"Buchstabe2=„T“})= 0,3 * 0,70p = 0,212121
P({"Buchstabe1=„t“}|{"Buchstabe2=„t“})= 0,3 * 0,29p = 0,087878
Eine multiplikative Verknüpfung wegen Unabhängigkeit gilt in diesem Falle nicht.
Ich hoffe, das hilft erst einmal,
lieben Gruß
Patrick