Hallo,
ich habe folgendes Problem:
Gegeben seien 3 Bauteile einer Maschine. Jedes Teil hat eine Ausfallwarscheinlichkeit von p= 0,1.
Fällt ein Teil aus, steht die ganze Maschine still.
Wie errechne ich folgendes:
a) alle 3 Teile fallen gleichzeitig aus?
b) 2 von 3 Teilen fallen gleichzeitig aus?
c) 1 von 3 Teilen fällt aus?
Auch hallo
Jedes Teil hat eine
Ausfallwarscheinlichkeit von p= 0,1.
Fällt ein Teil aus, steht die ganze Maschine still.
Unabhängigkeit vorausgesetzt:
Wie errechne ich folgendes:
a) alle 3 Teile fallen gleichzeitig aus?
0,1*0,1*0,1
b) 2 von 3 Teilen fallen gleichzeitig aus?
0,1*0,1*(1-0,1)
c) 1 von 3 Teilen fällt aus?
0,1 *(1-0,1)*(1-0,1)
mfg M.L.
Ich muss Deiner Lösung widersprechen.
1: Ein Teil ist OK,
0: ein Teil ist defekt
Ereignisse:
000 0,1*0,1*0,1=0,001
001 0,1*0,1*0,9=0,009
010 0,1*0,9*0,1=0,009
011 0,1*0,9*0,9=0,081
100 0,9*0,1*0,1=0,009
101 0,9*0,1*0,9=0,081
110 0,9*0,9*0,1=0,081
111 0,9*0,9*0,9=0,729
Wahrscheinlichkeit, dass alle Ausfallen:
p(000)=0,001
Wahrscheinlichkeit, dass eins ausfällt:
p(001)+p(010)+p(100)=0,027
Wahrscheinlichkeit, dass 2 ausfallen:
p(011)+p(110)+p(101)=0,243
Wahrscheinlichkiet, dass keins ausfällt:
p(111)=0,729
In einem anderen Beispiel, wo der eine Maschine 2 Teile besitzt mit je der Ausfallwarscheinlichkeit 10% hat mein Prof folgendes errechnet, dafür das 1 Teil der 2 Teile ausfällt:
P1=P2=0,1
P=1-(1-P1)(1-P2)
P=1-(0,9*0,9)
P=0,19
Ich finde die Rechenart von euch kann ich sehr gut nachvollziehen, jedoch weiß ich nicht was mein Prof da gerechnet hat und was denn nun von allem richtig ist?!?!
Hey,
oder etwas formaler:
Die Aufgabenstellung lässt auf ein 3-stufiges Bernoulli-Experminent schliessen. Der Einfachheit halber - und da es nichts an der Aufgabe ändert - betrachte ich nicht 3 Bauteile gleichzeitig, sondern nacheinander.
Ereignis:
Bauteil fällt n mal aus
A_n := 0,1^n
a) alle 3 Teile fallen gleichzeitig aus:
P(A_3) = \binom 33 0,1^3 (1-0,1)^{3-3} = 1 \cdot 0,001 = 0,001
b) 2 von 3 Teilen fallen gleichzeitig aus:
P(A_2) = \binom 32 0,1^2 (1-0,1)^{3-2} = 3 \cdot 0,01 \cdot 0,9= 0,027
c) 1 von 3 Teilen fällt aus:
P(A_1) = \binom 31 0,1^1 (1-0,1)^{3-1} = 3 \cdot 0,1 \cdot 0,81= 0,243
Gruß René
Hey Mexx,
bist du dir sicher, dass dein Prof da ausgerechnet, wie groß die Wahrscheinlichkeit ist, dass 1 Teil ausfällt oder dass beide Teile ausfallen oder - was hier der Fall ist - mindestens ein Teil funktioniert nicht?
P=1-(1-P1)(1-P2)
Wenn bei einer Wahrscheinlichkeitsrechnung am Anfang „1-…“ auftritt, wird die Wahrscheinlichkeit des Gegenereignis ausgerechnet, d.h. man weiß, dass zu einer Wahrscheinlichkeit von 100% entweder das eine Ereignis eintritt oder eben das andere.
Bei einem Bauteil ist das Gegenereignis zu „Das Bauteil ist kaputt“ das Ereignis „Das Bauteil funktioniert“. Was anderes kann nicht eintreten, also gilt:
P(„Das Bauteil ist kaputt“) + P(„Das Bauteil funktioniert“) = 100% = 1
Also auch nach Umformung:
P(„Das Bauteil ist kaputt“) = 1 - P(„Das Bauteil funktioniert“)
Bei der Rechnung deines Profs berechnet er also das Gegenereignis - Frage ist jetzt nur: Das Gegenereignis zu was?
Dazu schauen wir uns das Produkt der Rechnung an: (1-P1)(1-P2)
Da steht wieder „1-…“, also nochmal Gegenereignis. (1-P1) bedeutet einfach die Wahrscheinlichkeit, dass Bauteil 1 geht. Analog (1-P2), dass Bauteil 2 geht.
Das Produkt der beiden Wahrscheinlichkeiten bedeutet dann, dass beide Ereignisse (Bauteil 1 und 2 gehen) eintreten.
Jetzt sollten wir aber nicht vergessen, dass wir diese Wahrscheinlichkeit von 1 abziehen müssen - daraus folgt die Wahrscheinlichkeit, dass das Gegenereignis eintritt.
Das Gegenereignis zu „Beide Bauteile funktionieren“ wäre dann eben „Es funktionieren nicht beide Bauteile“. Dies beinhaltet allerdings folgende Ereignisse:
- Beide Bauteile funktionieren nicht
- Bauteil 1 funktioniert nicht, Bauteil 2 allerdings schon
- Bauteil 2 funktioniert nicht, Bauteil 1 allerdings schon
Kurz gesagt: Mindestens 1 Bauteil funktioniert nicht.
Gruß René
In einem anderen Beispiel, wo der eine Maschine 2 Teile
besitzt mit je der Ausfallwarscheinlichkeit 10% hat mein Prof
folgendes errechnet, dafür das 1 Teil der 2 Teile ausfällt:P1=P2=0,1
P=1-(1-P1)(1-P2)
P=1-(0,9*0,9)
P=0,19
Dein Prof hat folgendes errechnet:
0,9*0,9=0,81 ist die Wahrscheinlichkeit, das beide Teile intakt sind.
1-0,81=0,19 ist dann der Rest, also in diesem Fall, dass mindestens ein Teil defekt ist und die Maschine somit nicht funktioniert.
Das Ergebnis ist übrigens das selbe als wenn du ausrechnest:
Das erste ist defekt(0,1*0,9=0,09) oder das Zweite ist defekt(0,9*0,1=0,09) oder beide sind defekt(0,1*0,1=0,01). 0,09+0,09+0,01=0,01=0,19
Speziell bei größeren/komplexeren Systemen ist die erste Variante geschickter weil man nur eine Wahrscheinlichkeit errechnet und dann den Rest ermittelt.
Im Gegensatz dazu müsste man in der zweiten Variante jede mögliche Wahrscheinlichkeit errechnen und aufaddieren(viel zu viel Aufwand).
Ereignis:
Bauteil fällt n mal aus
A_n := 0,1^n
a) alle 3 Teile fallen gleichzeitig aus:
P(A_3) = \binom 33 0,1^3 (1-0,1)^{3-3} = 1 \cdot 0,001 = 0,001
b) 2 von 3 Teilen fallen gleichzeitig aus:
P(A_2) = \binom 32 0,1^2 (1-0,1)^{3-2} = 3 \cdot 0,01 \cdot
0,9= 0,027c) 1 von 3 Teilen fällt aus:
P(A_1) = \binom 31 0,1^1 (1-0,1)^{3-1} = 3 \cdot 0,1 \cdot
0,81= 0,243Gruß René
Diese Lösung sieht ser elegant aus.
Ich denke ich werde entweder das mit Bernoulli darstellen oder mit
wie im anderen Beitrag P(001), usw…
Hauptsache ich bekomme das richtige Ergebnis. Und wenn das dann mathematisch noch „toll“ aussieht, bin ich zufrieden.
Schonmal vielen Danke für die Hilfe.
Szenaro: kein Teil fällt aus.
P(A_1) = \binom 30 0,1^0 (1-0,1)^{3-0} = ??
Wäre das so korrekt? Was kommt dann als Ergebnis raus. Ich möchte jeden Fehler komplett ausschließen.
Ist die Bernoulli Methode bedenkenlos auf dieses Szenario anwendbar?
Hey Mexx,
P(A_0) = \binom 30 0,1^0 (1-0,1)^{3-0} = ??
so wäre es richtig 
Nach meiner Definition von An.
Der erste Teil in Klammern ist der Binominialkoeffizient. Er berechnet dir, wie viele Kombinationen es gibt - hier in diesem Fall 0 fehlerhafte Bauteile auf 3 mögliche Teile zu verteilen.
Dies wäre also einfach 1 - da der Binominialkoeffizient keine Doppelbesetzung zulässt und die Reihenfolge keine Rolle spielt.
Und der Rest ist ja einfach nur
P(A_0) = 0,9^3 = 0,729
Zur Kontrolle könntest du auch die Wahrscheinlichkeit mit dem Gegenereignis machen:
Du hast schon die Wahrscheinlichkeit, dass:
-3 Teile ausfallen: P(A3)=0,001
-2 Teile ausfallen: P(A2)=0,027
-1 Teile ausfällt: P(A1)=0,243
Es gillt allerdings:
P(A0) + P(A1) + P(A2) + P(A3) = 100% = 1
Also gilt:
P(A0) = 1 - P(A1) - P(A2) - P(A3) = 1 - 0,243 - 0,027 - 0,001 = 0,729
Gruß René
Guten Tag,
Herzlichen Dank René
Es hat mein Wissen sehr bestärkt indem was ich zu rechnen habe.