Warum Entropie?

Scrabz_c2446e · 1. Dezember 2004 um 00:39

Huhu!

Ich habe eben mit einer Bekannten ziemlich lange über das Thema oben gesprochen … und mir ist keine vernünftige Begründung eingefallen.

Warum Entropie? Und warum zeigt der Entropiepfeil in die Richtung, in die er zeigt?

Irgendwie ist mir da keine bessere Begründung eingefallen als:„Dinge fallen nun mal nicht nach oben.“

Gibt es eine bessere? Und kann man die als Matheniete verstehen?

Vielen Dank im Vorraus!
Scrabz aka Philipp.
_{Der es mag, in Diskusionen zu gewinnen.}

Oliver_a32c43 · 1. Dezember 2004 um 05:47

Prinzip der maximalen Ehrlichkeit
Hallo,

Warum Entropie? Und warum zeigt der
Entropiepfeil in die
Richtung, in die er zeigt?

Um die Frage zu beantworten, muss man erst das Konzept der Entropie näher beleuchten.

Angenommen du hast ein System, das aus vielen (Größenordnung 10²³) Teilchen besteht. Die Zustände dieses Systems könnten z.B. der Ort und die Geschwindigkeit jedes einzelnen Teilchens sein. Die Gesamtzahl der Systemzustände ist also astronomisch groß.

Die knifflige Aufgabe der Thermodynamik ist es nun, eine Wahrscheinlichkeitsverteilung für all diese Zustände im thermodynamischen Gleichgewicht (GGW) zu finden. Damit wäre es möglich ist, gewisse makroskopische Größen per Mittelwertbildung über diese Verteilung zu bestimmen und das System wäre damit im Griff.

Das Vorgehen zur Lösung dieses Problems ist nun ebenso genial wie einfach:

(1) Definition der Entropie

Zunächst sucht man eine Funktion, die nur von der (gesuchten) Verteilung abhängt und ein Maß für die Unwissenheit über das Systems ist. Diese Funktion wird als Entropie bezeichnet.

(2) Prinzip der maximalen Ehrlichkeit

Nun verlangt man, dass die Verteilung im GGW so ist, dass das quantisierte Unwissen (eben die Entropie) unter der Nebenbedingung des vorhandenen Wissens maximal ist.
Damit ist gewährleistet, dass die angenommene Verteilung die best mögliche ist, da sie so weit wie möglich von Willkür frei ist. (Wäre die Entropie nicht maximal, würden Annahmen im System stecken, die in keinster Weise abgedeckt sind. Durch die Forderung, dass die Entropie maximal ist, werden diese willkürlichen Annahmen eliminiert.)

Dieses Vorgehen hat sich bestens bewährt und die Modelle, die sich daraus ergeben (z.B. die ideale Gasgleichung) stimmen vorzüglich mit den Messwerten überein.

Zusammenfassung:

Die angenommene Verteilung und damit letztendlich das naturwissenschaftliche Modell, das man damit über das betrachtete System erhält, ist also nach dem Prinzip der maximalen Ehrlichkeit gerade so gewählt, dass die Entropie im thermodynamischen Gleichgewicht maximal ist. Und folglich wächst die Entropie in einem System, das sich noch nicht im GGW befindet, zeitlich an.

Gruß
Oliver

Ratz_c6e110 · 1. Dezember 2004 um 07:31

Hallo

Entropie ist das was verhindert, dass man aus Rührei Spiegelei machen kann.

Entropie ist ein Maß für die Unordnung eines Systems.

Huhu!

Warum Entropie? Und warum zeigt der Entropiepfeil in die
Richtung, in die er zeigt?

Ich nehme an du meinst die zeitliche Entwicklung der Entropie.
Beispiel: Gasbehälter durch eine Wand in zwei Teile getrennt. In der einen Seite Stickstoff, in der anderen Sauerstoff. Nehme ich jetzt die Trennplatte heraus, werden sich die Gase mischen.
Dieser Prozess läuft immer in eine Richtung (die der Mischung ) ab.
der zeitumgekehrte Vorgang wäre, dass sich zwei Gase spontan entmischen. Das ist zwar prinzipiel möglich, aber sehr sehr unwahrscheinlich.

Irgendwie ist mir da keine bessere Begründung eingefallen
als:„Dinge fallen nun mal nicht nach oben.“

Zwei Gase mischen sich von allein, Entmischen aber nicht.

Gibt es eine bessere? Und kann man die als Matheniete
verstehen?

Ich hoffe es.

Vielen Dank im Vorraus!

Bitte

Ratz

Jo1_a88223 · 1. Dezember 2004 um 08:49

Hallo,

jetzt glaube ich zumindest es etwas besser verstanden zu haben!

Danke & Gruß
Jochen

Gandalf · 1. Dezember 2004 um 10:54

Hi Scrabz,

Warum Entropie? Und warum zeigt der Entropiepfeil in die
Richtung, in die er zeigt?

Entropie ist eines der abstraktesten und sicher nicht das am leichtesten zu verstehenste Konzept der Thermodynamik.
Mein Prof in Pysikalischer Chemie hat für sich eine Sammlung von über hundert Umschreibungen der E. zusammengetragen, die er im Laufe der Jahre in der Fachliteratur gefunden hat.
Aber er meinte immer, daß die ‚beste‘ Beschreibung die schlichte Formel Bolzmanns sei
S = k * ln W

Also S (Entropie) ist das Produkt der Bolzmannkonstante k mit der Wahrscheinlichkeit W des zugehörigen Zustands.

Gibt es eine bessere? Und kann man die als Matheniete
verstehen?

Er hat dann gerne eine ‚populärere‘ Erklärung gegeben.
Du hast eine Küche und eine Anzahl von Tassen.
Wie hoch ist dann die Wahrscheinlichkeit, daß sich die Tassen ‚alleine‘ ordentlich in den Schrank stellen?
Wir haben das damals sogar ausgerechnet und die WAhrscheinlichkeit ist ziiiiemlich gering.

Dann noch ein kleine Geschichte aus meiner Diplomarbeit.
Dort hab ich mit Mathanbakterien gearbeitet, die Essigsäure in Methan und Kohlendioxid zerlegt haben um daraus Energie zu gewinnen.
Als ich dann eine kleine Berechnung zur Enthalpie machte, kriegte ich einen positiven Wert heraus, was mich erstaunte, denn dann hätte die Reaktion so erst mal nicht stattfinden dürfen.
Erst als ich die Entropie berücksichtigte (ein mol Flüssigkeit in zwei mol Gas) durften meine Bakterien wachsen. Sie lebten also schlicht von der Zunahme der Unordnung (was sie irgendwie sympatisch macht! - oder?)

Gandalf

Oliver_a32c43 · 1. Dezember 2004 um 18:31

Hallo Gandalf,

Aber er meinte immer, daß die ‚beste‘ Beschreibung die
schlichte Formel Bolzmanns sei
S = k * ln W
Also S (Entropie) ist das Produkt der
Bolzmannkonstante k mit der Wahrscheinlichkeit W
des zugehörigen Zustands.

Kleine Korrektur: W ist nicht die Wahrscheinlichkeit, sondern die Zahl der Realisierungsmöglichkeiten des Systems. Die Wahrscheinlichkeit eines einzelnen Zustands wäre dann 1/W.

Diese Formel ist übrigens auch tatsächlich in den Grabstein von Ludwig Boltzmann eingemeißelt worden. Allerdings steht da statt W ein Ω … sieht auf einem Grabstein auch irgendwie besser aus.

Allerdings muss man dazu sagen, dass die Formel streng genommen nur für abgeschlossene Systeme gilt. Im allgemeinen Fall ist die Formel:

S = -k ∑ ρ_i ln(ρ_i)

wobei die Summation über alle erlaubten Systemzustände geht und ρ_i die Wahrscheinlichkeit für den i-ten Zustand ist. Im Falle eines abgeschlossenen Systems sind alle Zustände gleich wahrscheinlich ρ_i = 1/Ω und man erhält die Formel auf dem Grabstein.

Wir haben das damals sogar ausgerechnet und die
WAhrscheinlichkeit ist ziiiiemlich gering.

Wir mussten mal ausrechnen, wie groß die Wahrscheinlichkeit ist, dass ein Stein spontan vom Boden hochspringt, das Ergebnis war:

P = 10^{-10^20}

Ich würd’ also nicht unbedningt drauf wetten.

Sie lebten
also schlicht von der Zunahme der Unordnung (was sie irgendwie
sympatisch macht! - oder?)

Sozusagen die Messis unter den Bakterien.

Gruß
Oliver

Gandalf · 2. Dezember 2004 um 09:09

Hallo Oliver,

Kleine Korrektur: W ist nicht die Wahrscheinlichkeit, sondern
die Zahl der Realisierungsmöglichkeiten des Systems. Die
Wahrscheinlichkeit eines einzelnen Zustands wäre dann 1/W.

OkOk hast ja recht.

Sie lebten
also schlicht von der Zunahme der Unordnung (was sie irgendwie
sympatisch macht! - oder?)

Sozusagen die Messis unter den Bakterien.

Hier muß ich Dich Korregieren
Messies horten alles, was sie kriegen können. Daß dabei z.T. Unordnung entsteht, ist nicht zwangsläufig

Gandalf

f_sig · 2. Dezember 2004 um 16:23

hi scrabz,

wie du an den bisherigen antworten siehst, das thema zieht eher die an, die weiter denken…oder es, wie ich, versuchen

aber die erläuterungen zur entropie haben ja letztlich nicht die frage beantwortet: warum? bzw. warum nimmt sie zu…

aaalso, ich habe z.t. an der uni würburg studiert und dort wurde von einem theoretiker immer von einer bei ihm angefertigten dr.-arbeit erzählt, wo der doktorand die zunahme der entropie mit der zeit mit der (welt-)raumausdehung korreliert hat. so weit ich mich erinnere wird auch bei hawking irgendwo die frage aufgeworfen, ob beim kollaps des universums die zeit rückwärts läuft (damit wohl auch die entropie abnimmt…)
rein philosophisch könnte man das anthropische prinzip ins feld führen: wir haben naturgesetze*, die das ‚wir‘ ermöglichen, eine andere welt, mit anderen gesetzen und naturkonstanten würden wir nicht wahrnehmen.
ilya prigogne hat glaub’ ich anfang der 80er gezeigt, dass ‚leben‘, bzw. selbstorganisierende systeme dadurch gekennzeichnet sind, dass ihre entropieproduktion bezügl. der umgebung minimal ist…also: zwar minimal, aber ohne gehts nicht…sprich, ohne gäbe es uns nicht…

also: bitte die entropie belassen wie sie ist, eltern haften für ihre kinder…

so long,

stefan

*die zunahme der entropie ist KEIN gesetz, sondern, wie die gesamte basis der thermodynamik, eine erfahrungstatsache.
sprich: wenn morgen einer kommt, der das gegenteil beweisen kann ists kein ‚gestzesverstoss‘, sondern, wer k. popper kennt: es wurde der erste schwarze schwan gefunden! - bzw. ein wiss. behauptung falsifiziert.