Hallo.
Kurze Frage:
Wir nehmen an, es ist Uf = Ug. Mit dem Skalarprodukt gilt
0 = = … =
=> f=g
=> Es existiert die Inverse U^(-1)
Wieso kann man hier auf die Existenz einer Inversen schließen?
Hintergrund:
Ein auf dem ganzen Raum definierter Operator U, der den Raum auf sich selbst abbildet, heißt unitär, wenn für beliebige f,g die Gleichung
= gilt.
MfG
Disap
Hallo,
Kurze Frage:
Wir nehmen an, es ist Uf = Ug. Mit dem Skalarprodukt gilt0 = = … =
=> f=g
Das ist falsch. Wenn f = g ist, ist das Skalarprodukt nur null, wenn beides der Null-Vektor ist. Für z.B. f = g = (1, 0) ist != 0.
Grüße,
Moritz
Hallo nochmal.
Leider hatte ich mich bei der ersten Frage ordentlich verschrieben.
Wir nehmen an, es ist Uf = Ug. Mit dem Skalarprodukt gilt
0 = = … =
=> f=g
=> Es existiert die Inverse U^(-1)
Wieso kann man hier auf die Existenz einer Inversen schließen?
Hintergrund:
Ein auf dem ganzen Raum definierter Operator U, der den Raum auf sich selbst abbildet, heißt unitär, wenn für beliebige f,g die Gleichung
= gilt.
MfG!
Disap
Hallo Disap!
Wieso kann man hier auf die Existenz einer Inversen schließen?
Weil Du gezeigt hast, dass U injektiv abbildet. (Warum? - siehe unten.) Für die Existenz der Inversen brauchst Du Bijektivität, aber die Surjektivität ist ja gegeben:
Ein auf dem ganzen Raum definierter Operator U, der den Raum
auf sich selbst abbildet, …
Nun zur Injektivität: Hier musst Du zeigen, dass Uf=Ug nur für f=g gilt, also dass aus Uf=Ug folgt: f=g.
Ansatz:
Uf=Ug
=> Uf-Ug=0
=> =0
0 = = … =
=> f=g
Injektivität gezeigt.
Liebe Grüße
Immo