Warum existiert Kolmogorow-Axiom Numero 2?

[ElaMiNaTo]

Tagchen

Ich hatte schonmal nen Thread erstellt, wo ich mich gefragt habe, warum Wahrscheinlichkeiten addiert werden.

Dies habe ich auch verstanden.

Jetzt frage ich mich aber, warum man dies „Die Wahrscheinlichkeit einer Vereinigung abzählbar vieler inkompatibler Ereignisse entspricht der Summe der Wahrscheinlichkeiten der einzelnen Ereignisse“ als Axiom existiert.

Gedanken, die mir durch den Kopf gehen, sind:

Vielleicht wollte man die Art und weise wie man dies ausrechnet vereinheitlichen (das bezweifle ich aber).

Vielleicht ist es aber auch dass, was mich verrückt macht und ich denke auch, dass das der Grund ist:

Warum ist die Wahrscheinlichkeit 1/6 PLUS die Wahrscheinlichkeit 1/6 = 2/6? Nun, das ist halt so. Das ist halt logisch. Es macht sinn.
Aber warum ist das denn so? Na, weil es halt Sinn ergibt. Aber man, warum ist das denn so? …

Hier dreht man sich also die ganze Zeit im Kreise.

Man kriegt also keine tieferen Einsichten mehr. Hier verlässt man sich dann vollkommen auf die Logik, welche aber nicht bewiesen werden kann, da es ja Zirkellogik ist (und die beweist ja gar nichts).

Nun ja, ich bin gespannt auf Eure Antworten

[michael_f7f5bc]

hi,

Ich hatte schonmal nen Thread erstellt, wo ich mich gefragt
habe, warum Wahrscheinlichkeiten addiert werden.

Dies habe ich auch verstanden.

sah jedenfalls so aus.

Jetzt frage ich mich aber, warum man dies „Die
Wahrscheinlichkeit einer Vereinigung abzählbar vieler
inkompatibler Ereignisse entspricht der Summe der
Wahrscheinlichkeiten der einzelnen Ereignisse“ als Axiom
existiert.

naja: ein wort wie „abzählbar“ hat in einer axiomatik, die einigermaßen allgemeinverständlich sein sollte, wenig verloren.
was kolmogorov usw. sagen wollten, ist: für endliche, inkompatible ereignisse müssen wahrscheinlichkeiten addiert werden können (wenn sie einem ‚allgemeinen‘ wahrscheinlichkeitsbegriff entsprechen sollen) - und nicht nur für endliche, sondern sogar für abzählbar unendliche.

Warum ist die Wahrscheinlichkeit 1/6 PLUS die
Wahrscheinlichkeit 1/6 = 2/6? Nun, das ist halt so. Das ist
halt logisch. Es macht sinn.
Aber warum ist das denn so? Na, weil es halt Sinn ergibt. Aber
man, warum ist das denn so? …

das hatten wir doch eigentlich geklärt. tja …

Hier dreht man sich also die ganze Zeit im Kreise.

man? du?

Man kriegt also keine tieferen Einsichten mehr. Hier verlässt
man sich dann vollkommen auf die Logik, welche aber nicht
bewiesen werden kann, da es ja Zirkellogik ist (und die
beweist ja gar nichts).

nö. ein axiomensystem ist nicht zirkellogik. (jedenfalls nicht automatisch.)

ein letzter versuch: wenn du lange genug würfelst, wirst du feststellen, dass das ereignis „1 oder 2“ in 1/3 der fälle eintrifft. das ereignis „3“ in 1/6 der fälle. und das ereignis „1 oder 2 oder 3“ in 1/3 + 1/6 = 1/2 der ereignisse.

und deshalb nimmt man das so in die axiome.

m.

[Timo_Waechtler]

Uff, ganz schön philosophisch. Eines solltest du dir bei Wahrscheinlichkeiten klar machen:

Um eine Wahrscheinlichkeit auszurechnen vergleicht man immer die günstigen Ereignisse mit der Gesamtheit aller möglichen Ereignisse. WIE man sie vergleicht, gibt das entsprechende Wahrscheinlichkeitsmaß an. Da gibt es ziemlich viele, die man wählen kann und oft ist die eigentlche Arbeit nicht die Wahrscheinlichkeit selbst auszurechnen, sondern ein Wahrscheinlichkeitsmaß zu finden, dass in der konkreten Situation angebracht ist. Deshalb ist die „Einheit“ der Wahrscheinlichkeit auch „Prozent“, hat also keine Dimension wie z.B. die Kraft (Newton). Wenn also die Wahrscheinlichkeit eins Ereignisses A 0.5, bzw 50%, beträgt, bedeutet das, dass in 50% aller möglichen Experimetausgänge dieses Ereigniss vorkommt. Fragt man sich jetzt nun wie groß die Wahrscheinlichkeit ist dass entweder Ereigniss A ODER Ereigniss B auftreten und sich A und B ausschliessen ist es vernüftig, ihre Wahrscheinlichkeiten zu addieren.
Schliessen sie sich hingegen NICHT aus, würde man bei der Addition der Wahrscheinlichkeiten den Fehler begehen, die Ausgänge dass A UND B eintreten, doppelt zu zählen.

[ElaMiNaTo]

ein letzter versuch: wenn du lange genug würfelst, wirst du
feststellen, dass das ereignis „1 oder 2“ in 1/3 der fälle
eintrifft. das ereignis „3“ in 1/6 der fälle. und das ereignis
„1 oder 2 oder 3“ in 1/3 + 1/6 = 1/2 der ereignisse.

und deshalb nimmt man das so in die axiome.

m.

Hi Michael,

Ja. Das ist schon klar, aber: Hier nimmst du ja Bezug auf die relative Häufigkeit. Dass ich das dann feststellen werde, ist mir klar, nur: Was hat das mit den Axiomen zu tun? In diesen wird ja nichts von einer relativen Häufigkeit erwähnt.

Genau deshalb hatte ich ja das Problem mit den Axiomen.
Was man aber sagen kann, ist doch folgendes (das ist das was ich erkannt habe):

Wenn Ereignis A die Wahrscheinlichkeit P(A) hat und Ereignis B die Wahrscheinlichkeit P(B) dann muss ZWINGEND die Wahrscheinlichkeit von P(A) ODER P(B) = P(A)+P(B) sein (und da brauche ich mir keinen Kopf um irgendeine relative Häufigkeit zu machen und was ist auch mit all den Wahrscheinlichkeiten, welche auf relative Häufigkeiten gar nicht aufbauen?).

Mein momentanes Problem ist: Oben ist die zwingende logische Schlussfolgerung P(A)+P(B)=P©

Oh indeed. Du hast recht ich dreh mich selbst im Kreisel.
In dem ich mich selber im Kreisel drehe, unterstelle ich der logischen zwingenden Schlussfolgerung sie sei zirkulär.

Meine Logik ist ja so:
P(A)+P(B)=P© Warum? P(A)+P(B)=P© Warum? P(A)+P(B)=P©

Dabei vergesse ich ja ganz, dass P(A)+P(B)=P© zwingend ist. Und das ganze im Kreisel drehen kann ich mir sparen.

Danke für den wirklich sehr hilfreichen Hinweis, dass ich es bin, der sich im Kreisel dreht (nicht ironisch zu verstehen).

[michael_f7f5bc]

ein letzter versuch: wenn du lange genug würfelst, wirst du
feststellen, dass das ereignis „1 oder 2“ in 1/3 der fälle
eintrifft. das ereignis „3“ in 1/6 der fälle. und das ereignis
„1 oder 2 oder 3“ in 1/3 + 1/6 = 1/2 der ereignisse.

und deshalb nimmt man das so in die axiome.

m.

Hi Michael,

Ja. Das ist schon klar, aber: Hier nimmst du ja Bezug auf die
relative Häufigkeit. Dass ich das dann feststellen werde, ist
mir klar, nur: Was hat das mit den Axiomen zu tun? In diesen
wird ja nichts von einer relativen Häufigkeit erwähnt.

Genau deshalb hatte ich ja das Problem mit den Axiomen.

„relative häufigkeiten“ sind keine wahrscheinlichkeiten. sie sind die empirische seite der wahrscheinlichkeiten. wahrscheinlichkeiten sollen (auf die dauer) empirische relative häufigkeiten fassen. deswegen spricht das axiomensystem nicht von relativen häufigkeiten: weil das axiomensystem auf die theoretische seite gehört.
allerdings ist eine gute theorie eine praktische sache, v.a. dann, wenn sie (die theorie) eine praktische / empirische sache gut abbildet.

Was man aber sagen kann, ist doch folgendes (das ist das was
ich erkannt habe):

Wenn Ereignis A die Wahrscheinlichkeit P(A) hat und Ereignis B
die Wahrscheinlichkeit P(B) dann muss ZWINGEND die
Wahrscheinlichkeit von P(A) ODER P(B) = P(A)+P(B) sein (und da
brauche ich mir keinen Kopf um irgendeine relative Häufigkeit
zu machen und was ist auch mit all den Wahrscheinlichkeiten,
welche auf relative Häufigkeiten gar nicht aufbauen?).

nur dann, wenn sich A und B aussschließen = wenn sie „inkompatibel“ sind = wenn ihr mengendurchschnitt (als mengen betrachtet) leer ist.

Mein momentanes Problem ist: Oben ist die zwingende logische
Schlussfolgerung P(A)+P(B)=P©

Oh indeed. Du hast recht ich dreh mich selbst im Kreisel.
In dem ich mich selber im Kreisel drehe, unterstelle ich der
logischen zwingenden Schlussfolgerung sie sei zirkulär.

Meine Logik ist ja so:
P(A)+P(B)=P© Warum? P(A)+P(B)=P© Warum? P(A)+P(B)=P©

entschuldige; ich will nicht böse sein. aber wo steckt in einer wiederholung eines „Warum?“ eine „logik“? ich spür da eher fixierung.

warum?
weil es die erfahrung so lehrt und weil man mit einem axiomensystem eine erfahrung theoretisch in den griff bekommen will / soll. (nicht nur bei kolmogorov)

hth
m.

[ElaMiNaTo]

Hi Michael,

Ja natürlich ist das keine Logik. Das wollte ich auch eigentlich damit aussagen (es ist ja offensichtlich, dass das keine Logik ist!).

Ich wollte nur für mich persönlich herausstellen, was ich da denn überhaupt denke. Durch mehrmaliges wiederholen der gleichen Formel wird ja halt nichts wahrer aber eben auch nichts falscher (es ist schlicht und ergreifend unsinnig). Das war mir zuvor aber gar nicht bewusst, dass ich so denke!!

Und ja du hast recht, ich bin irgendwie darauf fixiert.

Um noch einmal auf was zurückzukommen:

Wenn ich dich richtig verstanden habe, ist das Axiom dann also aus empirischen relativen Häufigkeiten gewonnen worden?

Aus Erfahrung weiß man (wie du ja schon gesagt hast) z.B., dass bei einem Würfel, wenn man sehr oft würfelt, dass eine 1,2 oder 3 bei bei der Hälfte der Würfe auftaucht. Dies würd der Wahrscheinlichkeit 0.5 entsprechen.

Das würde ja bedeuten, dass das Axiom auf Erfahrungswerten beruht.

Ist das so? (denn das ist das, was ich vehement ausschließe)

[michael_f7f5bc]

hi,

Um noch einmal auf was zurückzukommen:

Wenn ich dich richtig verstanden habe, ist das Axiom dann also
aus empirischen relativen Häufigkeiten gewonnen worden?

naja: es ist anhand von relativen häufigkeiten (und des nachdenkens über sie) gewonnen worden. „aus“ find ich missverständlich.

Aus Erfahrung weiß man (wie du ja schon gesagt hast) z.B.,
dass bei einem Würfel, wenn man sehr oft würfelt, dass eine
1,2 oder 3 bei bei der Hälfte der Würfe auftaucht. Dies würd
der Wahrscheinlichkeit 0.5 entsprechen.

Das würde ja bedeuten, dass das Axiom auf Erfahrungswerten
beruht.

Ist das so? (denn das ist das, was ich vehement ausschließe)

ja. das ist so.
axiomensysteme entstehen nicht von selbst, fallen nicht vom himmel, sondern menschen entwickeln sie, um realitäten, die sie beobachten, exakt behandelbar zu machen.
jetzt geben axiomensysteme nicht nur beobachtungen wieder, sondern sie versuchen, diese beobachtungen zu systematisieren, auf grundsätze bzw. grundsätzliches zurückzuführen.

warum willst du das „vehement ausschließen“?

m.

[JPL]

Hi,

Jetzt frage ich mich aber, warum man dies „Die
Wahrscheinlichkeit einer Vereinigung abzählbar vieler
inkompatibler Ereignisse entspricht der Summe der
Wahrscheinlichkeiten der einzelnen Ereignisse“ als Axiom
existiert.

Man braucht einfach eine Basis, mit der man anfangen kann. Dieses Axiom ist einfach gestrickt und beinhaltet eine grundlegende Eigenschaft, die man haben möchte.
Fertig.

Grüße,
JPL

[ElaMiNaTo]

Vereinbarungen und Unverinbarungen
Hi Micha (darf dich hoffenlich so nennen)

Erstmal breite mich meine Gedanken zur Unverneinbarkeit/Vereinbarkeit von Ereignissen aus.

Spielen wir ein Gedankenexperiment:

Es seien Ereignis A und B vereinbar:
P(A)=0.2 und P(B)=0.2
So, was passiert nun? Die Sache liegt ja klar auf der Hand, beide Ereignisse treten (weil sie ja vereinbar sind) immer zusammen (!) mit der Wahrscheinlichkeit 0.2 auf (ob man sie nun addiert oder nicht).

(Soweit so gut, wenn ereignisse also vereinbar sind, kann man sie nicht addieren, ist also falsch, das macht aber unvereinbare Ergebnisse ja noch nicht wahr).

Also überlegen wir kurz, wie es denn mit unvereinbaren Ereignissen aussieht:

Es seien die Ereignisse P©=0.4 und P(D)=0.6 unvereinbare Ereignisse.

Das bedeutet nun: Das entweder Ereignis C oder Ereignis D eintritt (ausschließendes ODER).

Da P©=0.4 und P(D)=0.6 wird P© oder P(D) (nicht-ausschließendes oder) mit der der Wahrscheinlichkeit P©+P(D) eintreten.

Wie man sieht verwende ich hier reine pure Logik. Das ist mein Anspruch.

Nun: Warum ich das so vehement bestreite liegt in dem folgenden Grunde:

Die Beobachtungen, die man tätigt, sind endlich und werden immer endlich bleiben. Deshalb bin ich vehement dagegeben Beobachtungen zu Axiomen zu machen, da es ja sein kann, dass bei irgendeiner Beobachtung dieses Axiom nicht mehr stimmt!!

Dies kann bei der Verwendung purer Logik nicht passieren. Deshalb finde ich sollte alles aus purer Logik erklärbar sein, so wie ich das oben getan habe. Aber vielleicht habe ich da auch einen Fehler gemacht, dann unbedindt drauf hinweisen!

[michael_f7f5bc]

hi,

Also überlegen wir kurz, wie es denn mit unvereinbaren
Ereignissen aussieht:

Es seien die Ereignisse P©=0.4 und P(D)=0.6 unvereinbare
Ereignisse.

Das bedeutet nun: Das entweder Ereignis C oder Ereignis D
eintritt (ausschließendes ODER).

nein. nicht unbedingt.
zuerst einmal: 2 sich ausschließende ereignisse decken nicht unbedingt den gesamten ereignisraum ab. z.b. würfeln: das ereigenis „gerade“ (2, 4, 6) (p = 1/2) und „1“ (p = 1/6) schließen sich aus. trotzdem können auch noch andere ereignisse („3“, „5“) eintreten.

Da P©=0.4 und P(D)=0.6 wird P© oder P(D)
(nicht-ausschließendes oder) mit der der Wahrscheinlichkeit
P©+P(D) eintreten.

wenn sich die ereignisse ausschließen und die wahrscheinlichkeiten stimmen (und die ereignismenge nicht überabzählbar ist): ja.

Wie man sieht verwende ich hier reine pure Logik. Das ist mein
Anspruch.

Nun: Warum ich das so vehement bestreite liegt in dem
folgenden Grunde:

Die Beobachtungen, die man tätigt, sind endlich und werden
immer endlich bleiben. Deshalb bin ich vehement dagegeben
Beobachtungen zu Axiomen zu machen, da es ja sein kann, dass
bei irgendeiner Beobachtung dieses Axiom nicht mehr stimmt!!

woher willst du denn axiome nehmen wenn nicht aus einer abstrahierenden analyse der realität?

man „macht [übrigens] keine beobachtungen zu axiomen“, sondern man formuliert axiome aus einer analyse von beobachtungen. das ist was anderes.

Dies kann bei der Verwendung purer Logik nicht passieren.
Deshalb finde ich sollte alles aus purer Logik erklärbar sein,
so wie ich das oben getan habe. Aber vielleicht habe ich da
auch einen Fehler gemacht, dann unbedindt drauf hinweisen!

vielleicht schaust du mal zum bebriffspaar induktiv - deduktiv. man gewinnt aus einer empirischen beobachtung induktiv erkenntnisse über das verhalten einer realität. man formuliert anhand dieser beobachtungen axiome (das, was man für die grundsätze des sachverhalts hält) und leitet dann aus diesen deduktiv behauptungen / sätze / theoreme ab. wenn diese die realität treffen, ist das ein gutes symptom für das modell. wenn sich die realität anders verhält, sollte man sein modell revidieren. das kolmogorov-modell hat sich für die wsk-theorie als sehr nützlich erwiesen.

m.

[ElaMiNaTo]

Hi Micha

Mit der Induktion bin ja ganz gut vertraut in den Sozialwissenschaften. Dort wird ja versucht durch Stichproben allgmeingültigkeiten einer Bevölkerung/Population herauszufinden

Induktion ist ja immer (außer die vollständige Induktion in der Mathematik) mit einem Risiko des Fehlers behaftet. Man kann niemals mit Sicherheit sagen, dass ein Merkmal einer Stichprobe für die gesamte Population gilt.

Die Deduktion ist da anders. Sie ist immer wahr (sofern die Prämissen wahr sind).

Ich glaube ich verstehe, was du mir sagen willst
Das Axiom wurde zwar aus der Realität gewonnen (durch Analyse), ist sozusagen eine Prämisse, weil die Beobachtungen ja immer nur endlich sind und somit auch die Analysen, es zeigt sich aber, dass sich diese Prämisse gut bewährt hat/und immer noch weiter bewährt. Nun gut, wenn die Prämisse stimmt, dann muss auch die Addition der unvereinbaren Ereignisse P(A)+P(B) stimmen.

---

Nehmen wir ein anderes Beispiel als 0.4 und 0.6. Nehmen wir den Würfel als Beispiel.

Man könnte das ja so forumlieren: entweder es wird die 1 oder die 2 oder 3…6 geworfen (das ist ja alles ausschließend unsere lieben Elementarerignisse).

Die Wahrscheinlichkeiten einer jeden Zahl ist 1/6.
Wie wahrscheinlich ist es, dass die 1 oder 2 fällt?

Wenn die eins oder die zwei fällt, dann können sie niemals gemeinsam fallen. Also kann man doch auch hier deduktiv sagen, dass die 1 oder 2
mit der Wsk 2/6 fallen (wozu braucht man hier die Realität?).

Es ist also nicht notwendig für diese Logik dass für zwei Ereignisse die Wahrscheinlichkeit 1 ergibt.

Ich glaube ich mutiere zu einem Theoretiker, der die heilige Logik als einziges wahres Mittel anpreist. Ich sollte in die Kirche gehen.

Denn andererseits verstehe ich natürlich, dass die Logik auch in der Realität geprüft werden sollte. Die Logik kann ja noch so super schön und toll und widerspruchsfrei sein und trotzdem kann sie der Realität widersprechen.

Ungefähr wie sowas:
Alle Universen wurden von einem blauen Bär erschaffen.
Wir leben in einem Universum.
Ergo, unser Universum wurde von einem blauen Bär erschaffen.

Logisch gibt es keinen Zweifel an der Aussage. Aber ich denke hier würden mir dann doch einige wiedersprechen

[ElaMiNaTo]

Mit der Basis meinst du, dass alle Menschen die mit der Wahrscheinlichkeitsrechnung arbeiten/rechnen auch das zweite Axiom erfüllen? (ist es denn aber überhaupt möglich, dass Axiom nicht zu erfüllen, wenn die Ereignisse unvereinbar sind? Und wenn nein: Wozu existiert es dann, wenn es auch ohne Axiom sowieso erfüllt ist?).

[JPL]

Hi,

du ziehst das ganze verkehrt herum auf. Mathematik ist keine Naturwissenschaft (deswegen hiessen die Fakultäten auch immer math.-nat. und nicht nur nat.). Mathe ist ein Konstrukt und damit es erstmal überhaupt zuwegen bringen kann, muss man einen Grndstock anlegen. Axiomatik gab es früher nicht, man hat aber Regeln entdeckt (U=2*pi*r) oder definiert (1+1=2, 2+2=4,…) die leicht verständlich waren. Später merkte man aber, dass man verschiedene Auffassungen haben konnte oder die Regeln und die aus ihnen abgeleiteten Regeln paradoxe Ergebnisse erzielen konnten (2 Halbkugeln konnten zusammen ein größeres Volumen haben als die original Kugel, aus der sie gebildet wurden). Also musste alles auf den Prüfstand und man hat einiges als Axiom definiert, was sinnvoll erscheint, nicht hergeleitet werden kann, als Basis für weitere regeln dient,…
Es ist also keine Beobachtung, die in eine Regeln gegossen wurde, sondern eine fundamentale Annahme, auf der der Rest so aufgebaut wird, dass er mit der Beobachtung möglichst gut übereinstimmt.

Mit der Basis meinst du, dass alle Menschen die mit der
Wahrscheinlichkeitsrechnung arbeiten/rechnen auch das zweite
Axiom erfüllen?

Nein. Man könnte das alles auch völlig anders aufziehen (für simulationen wird das teilweise gemacht, da sich dann andere Dinge leichter berechnen lassen, und Compis als eigene Welt programmiert werden können - dadurch ergibt sich kein widersprucj zr Realität)

(ist es denn aber überhaupt möglich, dass

Axiom nicht zu erfüllen, wenn die Ereignisse unvereinbar sind?

Möglich. Dann müsste man aber zuerst überlegen, ob sie denn wirklich unvereinbar (oder besser disjunkt) sind. Biher hat man aber wohl noch keinen solchen Fall gefunden. Du kannst gerne der erste sein
(das Axiom selber macht aber auch Sinn. Stellt man sich die Ereignismenge als Fläche vor, von der jedes Ereignis ein Stück ist, das - wenn disjunkt zu den anderen Eriegnissen - mit diesen leeren Schnitt hat, dann ist eben das Eintreten von A oder B gerade die Summe der Flächen)

Und wenn nein: Wozu existiert es dann, wenn es auch ohne Axiom
sowieso erfüllt ist?).

Um einerseits klar zu machen, dass diese erkenntnis existiert (denn nicht allen scheint sie klar zu sein ) und andererseits um klar zu machen, dass es ein Axiom ist.
Grüße,
JPL

[d_punkt]

Hallo,

mein Vorschlag wäre, dass Du Dir einmal den Wikipedia-Artikel zum Begriff „Axiom“ durchliest, persönlich finde ich den Artikel sehr hilfreich.
Je nach Auffassung ist ein Axiom nicht beweisbar oder es wird ohne Frage nach einem Beweis angenommen. Ein Axiom hat keinen allgemeinen Gültigkeitsanspruch, und das ist hier vielleicht der Knackpunkt. In der Physik gibts ja die bekannten Newtonschen Axiome. Die gelten innerhalb gewisser Begrenzungen (keine Quantenmechanik, keine zu grossen Geschwindigkeiten) und sie werden normalerweise ohne einen Beweis akzeptiert.
Ähnlich ists in der Mathematik: Jedes Axiom gilt nur unter bestimmten Voraussetzungen. Sind die nicht erfüllt, gilt das Axiom nicht. Wird ein Gegenbeweis (oder nur ein Gegenbeispiel) gegen ein akzeptiertes Axiom gefunden, muss es entweder verworfen oder angepasst werden.

Aufbauend auf ein Axiom können dann wiederum andere Eigenschaften logisch abgeleitet werden. Es kann genausogut der Versuch gemacht werden, ein Axiom aus anderen Axiomen (oder auch bewiesenen Eigenschaften) abzuleiten. Ob das gelingt, ist eine andere Sache.

Bezüglich Deines Beispiels mit dem blauen Bär. Unter der Voraussetzung, dass das Axiom „alle Universen sind von einem blauen Bär erschaffen worden“ stimmt, ist die logische Ableitung richtig. Der Punkt ist jetzt aber nicht zu sagen: „Das Axiom kann nicht widerlegt werden, daher ist es richtig“, sondern: „Das Axiom wurde noch nicht widerlegt, aber wir haben Beispiele/Erfahrungswerte/wie auch immer man das nennen mag, die für das Axiom sprechen, daher halten wir es für richtig“.

Grüsse,
d.