Hi!
Folgendes Problem: Gegeben sei nun die Gleichung
wurzel(x) - 5 = 1 + wurzel(x)
Nun quadriert man beide Seiten. Das ergibt dann:
x - 10*wurzel(x) + 25 = 1 + 2*wurzel(x) + x
Meine Frage ist, warum das eine Implikation und keine Äquivalenzumformung ist.
Danke im Voraus!
Hallo,
wurzel(x) - 5 = 1 + wurzel(x)
Nun quadriert man beide Seiten. Das ergibt dann:
x - 10*wurzel(x) + 25 = 1 + 2*wurzel(x) + x
Meine Frage ist, warum das eine Implikation und keine
Äquivalenzumformung ist.
Durch quadrieren entstehen zusätzliche Lösungen. Die Gleichung
x = 1
hat nur eine Lösung, aber wenn man sie quadriert
x² = 1
gibt es zwei mögliche Lösungen (1 und -1).
Grüße,
Moritz
Eine Äuquivalenzumformung liegt nur dann vor, wenn der Schritt reversibel ist! Die Wurzel-Terme nach den Quadrieren lassen aber jeweils zwei Lösungen zu. Der Rechenschritt ist also nicht eindeutig reversibel.
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quadrieren ist (praktisch) nie eine äquivalenzumformung.
Nachtrag:
machen wir das Problem mal einfacher:
x=4
quadriert:
x^2 =16
Dieser Schritt ist aber nicht reversibel, da 16 sowohl das Ergebnis von +4*+4 als auch -4 * -4 ist.
Deswegen ist die Multiplikation mit Null auch keine Äquivalenzumformung: Beide Seiten der Gleichung ergeben Null - die Ausgangsgleichung ist dann aber nicht mehr rekonstruierbar.
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