Der Potenz-Operator ist nicht assoziativ. Also a^(b^c) ist nicht gleich (a^b)^c.
a^b^c wird im allgemeinen mit a^(b^c) berechnet, also rechtsassoziativ. Im Gegensatz zu den arithmetischen Operatoren, die linksaossziativ sind.
Aber warum ist das so? Wer hat das festgelegt? Wo kann man das nachlesen? Gibt es einen tieferen Grund für diese Festlegeung?
Hallo quack,
ich habe mich damit noch nie befasst, aber ich versuch’s mal: Dein Term ist ja im Grunde ein Potenzturm.
a^{b^c}
Wir beginnen, wie du richtig sagst, mit
b^c
und schließen mit
a^{(b^c)}
Wir arbeiten uns also von außen nach innen und im Gegensatz zu
a^{(b^c)}=a^{(b*c)}
Wie so vieles wurde das - nehme ich mal an - wegen seines Zwecks festgelegt: Der Potenzturm dient zur vereinfachten Darstellung großer Zahlen. In der „Wald- und Wiesen"mathematik, die linksassoziativ rechnen würde, wird kaum über die dritte Potenz hinausgegangen, weil mathematische Gleichungen schnell unübersichtlich werden. In Bereichen der Programmiersprachen allerdings, wo zum Beispiel die Grenzen der Speichervariablen ausgelotet werden, ist es vonnöten, auch mal vier oder 5 Potenzturm"etagen“ zu bauen. Die double-Variable kann zum Beispiel eine 15-stellige Zahl speichern und ist damit 8 Byte groß. Das als Potenzturm zu schreiben, ist weitaus übersichtlicher. Also - so kann ich es mir vorstellen - wurde die Konvention auf rechtsassoziativ festgelegt und die "Wald- und Wiesen"mathematik musste sich mit den Klammern begnügen, weil sie die Potenzierung ohnehin weniger braucht.
Als Buchtipp kann ich dir aber noch Florian Cajori: A History of Mathematical Notations. Open Court, Chicago 1928–1929, Dover, New York 1993. ISBN 0-486-67766-4 Buch anschauen empfehlen.
Ich glaube nicht, dass es da so eine Art DIN-Norm gibt. Manchmal sind eben die Ergebnisse bei Rechenoperationen abhängig von der Reihenfolge - wie auch bei diesem Beispiel.
Das ist genau so, wie bei der „Vereinbarung“ Punktrechnung geht vor Strichrechnung. Da kann man auch fragen, warum das so ist.
Irgend wer hat mal mit einer bestimmten Reihenfolge angefangen und der Rest hat es akzeptiert. Ich vermute mal einfach: Gewohnheitsrecht.
die Nichtassoziativität kannst du ja mit einem Gegenbeispiel beweisen.
Ich habe mit dem Potenzoperator nie gerechnet aber:
Bei arithmetischen Operationen erübrigt sich die Frage für die assoziativen. Bleiben - und :
Bei geteilt ist die Lage nicht so klar, aber bei minus wohl. 100-8-9-4-…Abziehen erfolgt immer in von links her der Reihe nach (wobei man die übrigen sogar vertauschen könnte).
Ehrlich gesagt fände ich es sogar praktischer den Potenzoperator auch linksassoziativ zu bauen, weil man dann die gleiche Vertauschbarkeit bekommt wie bei - (man erinnere sich (a^b)^c=a^(b*c)
Grüße
Hallo,
Die Klammerregel geht nun mal vor, daher kann diese nicht einfach versetzt werden. Kann man ganz einfach nachprüfen mit 3^(3^2) = 19683. Ist ungleich (3^3)^2 = 729.
Willst Du mehr über den Potenzoperator wissen, so wird mit diesem Suchwort unter Hyper-Operator gleich die erste Wikipedia-URL nähere Angaben dazu machen.
Ich bin kein Mathe-Experte! Außer in FORTRAN gibt es diese Anwendung angeblich erst ab 2001.
Also viel Erfolg beim selber Forschen
Mit freundlichem Gruß
Detlef Mietke
Der Potenz-Operator ist nicht assoziativ. Also a^(b^c) ist
nicht gleich (a^b)^c.
Tut mir leid, daß ich Dir da nicht weiterhelfen kann. SRI
Sorry, da kann ich dir nicht wirklich weiterhelfen. Ich vermute das ist einfach Konvention („wird im Allgemeinen…“).
vg,
malte
Guten Tag,
also ganz allgemein ausgedrückt sieht es so aus :
Die Rechengesetze, die beim Multiplizieren Anwendung finden, sind das Kommutativgesetz, das Assoziativgesetz und das Distributivgesetz. Das Kommutativgesetz besagt, dass bei der Multiplikation die Faktoren in ihrer Reihenfolge vertauscht werden dürfen. So ist 2*5 das gleiche wie 5*2. Das Assoziativgesetz sagt, dass die Faktoren durch Klammern unterschiedlich zusammengefasst werden können ohne dass sich etwas am Ergebnis verändert. Beispiel: (8*9)*7=504 kann auch als 8*(9*7)=504 geschrieben werden. Das Distributivgesetz sagt aus, dass die Faktoren unterschiedlich verteilt werden können. Es darf eingeklammert und ausgeklammert werden. Beispiel: 27*97+27*22= 27(97+22)= 27*119; 27*97=2619+27*22=594. Addiert ist es: 3213. Das ist das gleiche Ergebnis wie für 27*119=3213. Quelle: http://multiplikation.org/